Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+ctgx y'+λy=0. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по физике
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+ctgx y'+λy=0

Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+ctgx y'+λy=0 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить задачу Штурма-Лиувилля: y''+ctgx y'+λy=0, (1) y0<∞, yπ<∞. (2) Нормировать собственные функции задачи.

Ответ

λn2=nn+1, ynx=2n+12Pncosx, n=0,1,2,….

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

В уравнении (1) сделаем замену переменных
ξ=cosx, ddx=-sinxddξ, yx≡uξ
-sinxddξ-sin2xdudξ+λ2sinxuξ=0,
ddξ1-ξ2dudξ+λ2uξ=0
(3)
Это уравнение Лежандра на отрезке -1;1. Из условия ограниченности (2) следует, что
u±1<+∞.
Уравнение Лежандра (3) имеет ограниченные решения на отрезке -1;1 только в том случае, когда
λn2=nn+1, n=0,1,2,…
(4)
В этом случае решением уравнения (3) будут полиномы Лежандра
unξ=Pnξ=12nn!dndξnξ2-1n,
Тогда
ynx=CnPncosx.
(5)
Полиномы Лежандра образуют ортогональный базис на отрезке [-1, 1]

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу