Мощности трех действующих предприятий в пунктах А1, А2, А3 составляют ai = (500, 350, 450) ед. однородной продукции. Потребность в этой продукции четырех потребителей в пунктах В1, В2, В3, В4 равна bj = (330, 200, 570, 400).
Проектами предусмотрено два варианта увеличения выпуска продукции: реконструкция действующего предприятия А2 и строительство нового предприятия А4.
Себестоимость производства единицы продукции на действующих предприятиях: C1 = 3; C2 = 5; C3 = 4. Себестоимость производства единицы продукции на предприятии А2 после его реконструкции С2(рек) = 4. Себестоимость производства единицы продукции на вновь построенном предприятии С4(стр) = 6.
Капитальные вложения на единицу готовой продукции, связанные с реконструкцией и строительством: E·k2 = 3; E·k4 = 4.
Транспортные затраты Cij на перевозку единицы продукции от i-го поставщика j-му потребителю:
Потребители
B1 B2 B3 B4
Поставщики A1 7 5 6 4
A2 3 2 8 3
A3 10 5 7 4
A4 4 6 6 5
Определить оптимальный план строительства и реконструкции, обеспечивающий минимальные суммарные издержки на производство, доставку и прирост производственных мощностей.
Решение
Задача оптимального размещения производства сводится к однопродуктовой задаче перспективного планирования, когда наличных мощностей поставщиков недостаточно для удовлетворения спроса потребителей. Это требует ввода новых мощностей за счёт капитального строительства и реконструкции, для чего обычно существует несколько возможных вариантов.
Таким образом, экономико-математическая модель нашей задачи должна одновременно учитывать оптимальное закрепление потребителей за поставщиками, а также выбор оптимального варианта создания новых мощностей и расширения действующих, при которых достигается минимум суммарных текущих затрат на производство продукции, её транспортировку и удельные капитальные затраты.
Математическая модель задачи имеет вид:
z = i=1mj=1n(Ci+Cij+E·ki)·xij min
при ограничениях
j=1nxij = ai; i = 1,…,m;
i=1mxij ≤ bj; j = 1,…,n;
xij ≥ 0; i = 1,…,m; j = 1,…,n.
Здесь:
m – количество предприятий Pi (действующих Ai, строящихся Ai(стр), реконструируемых Ai(рек));
n – количество потребителей Bj;
xij – объемы перевозок продукции от предприятий Pi к потребителям Bj;
ai – производственные мощности действующих предприятий Ai;
bj – потребности потребителей Bj;
Сi – себестоимости производства единицы продукции на действующих, реконструируемых и вновь строящихся предприятиях;
Сij – транспортные расходы по доставке единицы продукции от i-гo предприятия к j-му потребителю;
E·ki – капитальные затраты на единицу продукции при строительстве или реконструкции (удельные капитальные затраты).
В целом решение данной задачи должно обеспечить определение наилучших вариантов размещения предприятий и перевозок продукции, при которых достигается минимум суммарных затрат на производство и транспортировку продукции и инвестиционных вложений в создание новых мощностей или расширение действующих.
Так как в число поставщиков входят как действующие предприятия, так и различные варианты проектируемых, то в случае реконструкции некоторого предприятия его мощность до реконструкции должна показываться в модели отдельно от мощности, получаемой дополнительно за счет реконструкции.
Эта модель представляет собой открытую транспортную задачу, которая приводится к закрытой введением фиктивного потребителя.
Согласно условию задачи, суммарная мощность действующих предприятий i=13ai = a1+a2+a3 = 500+350+450=1300, а суммарная потребность j=14bj = b1+b2+b3+b4 = 330+200+570+400=1500. Таким образом, неудовлетворенный спрос потребителей составляет 1500 – 1300 = 200.
Поэтому проектируемым вариантам прироста мощности A2(рек) и A4(стр) выделяем отдельные строки P4 и P5 с недостающей мощностью a4 = 200 и a5 = 200, а также вводим фиктивного потребителя B5 с потребностью b5 = 200.
Удельные затраты для действующих предприятий складываются из затрат на производство и транспортировку единицы продукции Ci + Cij
. Для вариантов реконструкции и строительства дополнительно учитываются удельные капитальные затраты Ci + Cij + E·ki.
Представляем данные нашей транспортной задачи в виде таблицы:
B1 B2 B3 B4 B5
b1=330 b2=200 b3=570 b4=400 b5=200
P1 A1 a1=500 3+7=10 3+5=8 3+6=9 3+4=7 0
P2 A2 a2=350 5+3=8 5+2=7 5+8=13 5+3=8 0
P3 A3 a3=450 4+10=14 4+5=9 4+7=11 4+4=8 0
P4 A2(рек) a4=200 4+3+3=10 4+2+3=9 4+8+3=15 4+3+3=10 0
P5 A4(стр) a5=200 6+4+4=14 6+6+4=16 6+6+4=16 6+5+4=15 0
Составляем рабочую таблицу представления числовых данных нашей транспортной задачи:
B1 B2 B3 B4 B5
b1=330 b2=200 b3=570 b4=400 b5=200
P1 a1=500
10
8
9
7
0
P2 a2=350
8
7
13
8
0
P3 a3=450
14
9
11
8
0
P4 a4=200
10
9
15
10
0
P5 a5=200
14
16
16
15
0
Выполняем первоначальное распределение перевозок X(0) методом минимального тарифа.
а). Наименьший тариф 7 в ячейках (2, 2) и (1, 4). Выбираем произвольно и назначаем x22 = 200. Столбец B2 исключаем. Остаток a2 = 150.
б). Наименьший тариф 7 в ячейке (1, 4). Назначаем x14 = 400. Столбец B4 исключаем. Остаток a1 = 100.
в). Наименьший тариф 8 в ячейке (2, 1). Назначаем остаток x21 = 150. Строку A2 исключаем. Остаток b1 = 180.
г). Наименьший тариф 9 в ячейке (1, 3). Назначаем остаток x13 = 100. Строку A1 исключаем. Остаток b3 = 470.
д). Наименьший тариф 10 в ячейке (4, 1). Назначаем остаток x41 = 180. Столбец B1 исключаем. Остаток a4 = 20.
е). Наименьший тариф 11 в ячейке (3, 3). Назначаем x33 = 450. Строку A3 исключаем. Остаток b3 = 20.
ж). Наименьший тариф 15 в ячейке (4, 3). Назначаем x43 = 20. Строку A4 исключаем. Остаток b3 = 0.
з). Наименьший тариф 16 в ячейке (5, 3). Назначаем остаток x53 = 0. Столбец B3 исключаем. Остаток a5 = 200.
и). Заполняем оставшуюся незаполненной ячейку (5, 5) остатком x55 = 200.
Первоначальное распределение перевозок X(0) имеет вид:
X(0) B1 B2 B3 B4 B5
b1=330 b2=200 b3=570 b4=400 b5=200
P1 a1=500
10
8
9
7
0
100
400
P2 a2=350
8
7
13
8
0
150
200
P3 a3=450
14
9
11
8
0
450
P4 a4=200
10
9
15
10
0
180
20
P5 a5=200
14
16
16
15
0
0
200
Распределение перевозок содержит m + n – 1 = 5 + 5 – 1 = 9 занятых клеток, следовательно, опорное решение – невырожденное
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
