Решить задачу о колебаниях струны

Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''t=4X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 4Xx∙T(t)
T''(t)4T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T''t+4λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X0⋅Tt=0, X4⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X4=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X4=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X4=C2 sin4λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin4λ=0,
4λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk42, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkx4, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk''(t)+4πk42Tkt=0.
Tk''(t)+πk22Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Akcosπkt2+Bksinπkt2.
Решение ux,t исходной задачи представим в виде
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Akcosπkt2+Bksinπkt2sinπkx4.
utx,t=k=1∞πk2-Aksinπkt2+Bkcosπkt2sinπkx4.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (3)
ux,0=k=1∞Aksinπkx4=φx,
ut(x,0)=k=1∞πk2Bksinπkx4=0 ⇒ Bk=0.
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции φx в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx4k=1∞
Ak=2404φxsinπkx4dx=1202xsinπkx4dx+244-xsinπkx4dx=
=12-4πk02x dcosπkx4+244-x dcosπkx4=
=-2πkxcosπkx402-02cosπkx4dx+4-xcosπkx424+24cosπkx4dx=
=-2πk2cosπk2-4πksinπkx402-2cosπk2+4πksinπkx424=
=-2πk-4πksinπk2-4πksinπk2=16π2k2sinπk2.
Таким образом, решение исходной задачи ux,t имеет вид
ux,t=k=1∞16π2k2sinπk2cosπkt2sinπkx4.
Учитывая, что все четные коэффициенты этого ряда равны нулю, а при нечетных k=2n+1, sinπ(2n+1)2=-1n, решение можно переписать в виде
ux,t=16π2n=0∞-1n2n+12cosπ2n+1t2sinπ2n+1x4.
Ответ:
ux,t=16π2n=0∞-1n2n+12cosπ2n+1t2sinπ2n+1x4.