Решить задачу математической физики используя метод Фурье (метод разделения переменных)

Имеем следующую задачу теплопроводности:
∂u∂t=16∂2u∂x2,0<x<π,t>0ux,0=2π-xux'0,t=ux'π,t=0
Согласно методу Фурье ищем решение задачи в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
Где X(x) – зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT't=16X''(x)T(t)
X''xX(x)=T't16T(t)
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа:
X''xX(x)=T't16T(t)=λ=const
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T't=16λT(t)
Граничные условия для u=X(x)T(t) дают: X'0Tt=0,X'πTt=0. Значит X'0=X'π=0 . Т.е. нам требуется найти ненулевые решения уравнения
X''x-λXx=0; X'0=X'π=0
Уравнение – линейное уравнение с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Находим производную X'x=c1
Условия X'0=X'π=0 дают решение c1=0, т.е. Xx=C.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Находим производную X'x=c1λeλx-c2λe-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X'0=X'π=0.
c1λ-c2λ=0c1λeλπ-c2λe-λπ=0
Выражая из первого c2=c1 и подставляя во второе, получаем c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Находим производную X'x=-c1λsin-λx+c2λcos-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X'0=X'π=0:
-c1λsin0+c2λcos0=0-c1λsinπ-λ+c2λcosπ-λ=0
Получаем:
c2=0-c1λsinπ-λ=0
Тогда:
sinπ-λ=0 π-λ=πn λ=-n2
Т.е