Решить задачу линейного программирования

Построим математическую модель задачи.
Пусть х1-количество изделий вида I, ед, х2 - количество изделий вида II, ед запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (13 х1 +4х2) единиц ресурса РI, (6х1 +5х2) единиц ресурса РII, (6х1 +5х2) единиц ресурса РIII. Так как, потребление ресурсов РI, РII, РIII не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
13x1+4х2≤18106x1+5х2≤241012x1+10x2≤3510
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль составит 6х1 от реализации продукции I и 9х 2 от реализации продукции II, то есть : F = 6х1 +9х 2. →max.
1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств.
Границей неравенства 13x1+4x2≤1810 является прямая 13x1+4x2=1810 , построим ее по двум точкам:
х1
0 1810/13
х2
452,5 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству 13x1+4x2≤1810 , поэтому областью решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой 13x1+4x2=1810 . Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства 6x1+5x2≤2410 является прямая 6x1+5x2=2410 , построим ее по двум точкам:
х1
0 1205/3
х2
482 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству 6x1+5x2≤2410 , поэтому областью решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой 6x1+5x2=2410 . Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства 12x1+10x2≤3510 является прямая 12x1+10x2=3510 , построим ее по двум точкам:
х1
0 1755/6
х2
351 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству 12x1+10x2≤3510 , поэтому областью решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой 12x1+10x2=3510 . Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.
Общая часть всех полуплоскостей область АВСDE является областью решений системы линейных неравенств.
Строим вектор-градиент целевой функции FX=6x1+9x2:∇F=6;9.(координаты вектора-градиента – частные производные функции ).
Проводим линию линейной функции перпендикулярно вектору-градиенту.
Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором ∇F.
Максимального значения функция достигает в точке: F(В), В(0,351)
Fmax=FВ=9∙351+6*0=3159.
Значит необходимо выпускать 351 ед изделий вида II, изделия вида I не выпускать, чтобы получить максимальную прибыль в размере 3159 ден ед
2. Следовательно, двойственная задача линейного программирования будет иметь вид:F(Y)=1810Y1+2410Y2+3510Y3 (min)
Ограничения:
13Y1 + 6Y2 + 12Y3
≥ 6
4Y1 + 5Y2 + 10Y3
≥ 9
Y1 ≥ 0
Y2 ≥ 0
Y3 ≥ 0
В исходной задаче x1>0, х2>0. Следовательно, в двойственной задаче оба ограничения должны выполняться как равенства на оптимальном плане.
13y1+6y2+12y3=64y1+5y2+10y3=9
В исходной задаче на плане xопт равенствами являются 3-е ограничения