Решить вторую граничную задачу для уравнения Гельмгольца в двумерной области

Краевая задача (1) − (3) является задачей Неймана для уравнения Гельмгольца. Применим метод Фурье разделения переменных. Нетривиальное решение задачи ищем в виде
ux,y=XxYy.
Подставим в уравнение (1)
X''xYy+XxY''y+k2XxYy=0.
Разделим это равенство на XxYy
X''xXx+Y''yYy+k2=0,
-X''xXx=Y''yYy+k2=λ2=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате переменные разделяются, и получается два уравнения
X''x+λ2Xx=0,
Y''y+k2-λ2Yy=0,
Или вводя обозначение
μ2=k2-λ2,
уравнение для Yy запишем в виде
Y''y+μ2Yy=0.
Подставляя ux,y в виде XxYy в граничные условия (2), получим
X'0Yy=0, X'(a)Yy=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'(0)=0, X'(a)=0.
Аналогично, поставляя ux,y=XxYy в граничные условия (3) получим
Y'0=0, Y'b=0,
Таким образом, для функций X(x) и Yy получили однотипные задачи Штурма − Лиувилля
X''x+λ2Xx=0X(0)=0, X'a=0
Y''y+μ2Yy=0Y(0)=0, Y'b=0
Решим первую задачу Штурма − Лиувилля .
При λ>0 общее решение уравнения можно представить в виде
Xx=A1e-iλx+A2 eiλx,
или
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X'(0)=λC2=0 ⇒ C2=0 X'a=-λC1sinλa+λC2 cosλa=-λC1sinλa=0
Получили следующее уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма − Лиувилля
sinλa=0,
λa=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πna, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (которые определяются с точностью до постоянного множителя)
Xnx=cosπnxa, n=1,2,…
При λ=λ0=0 уравнения для X0(x) примет вид
X0''x=0.
Откуда с учетом граничных условий найдем
X0x=1.
Аналогично, решая задачи для функций Yy находим собственные значения и собственные функции
μ=μ0=0, Y0y=1
μm=πmb, Ymy=cosπmyb, m=1,2,…
Следовательно, решение исходного уравнения возможно только для множества значений константы k:
k=knm=λn2+μm2=πna2+πmb2=πna2+mb2,
m, n – натуральные числа или ноль