Решить уравнение x3+12x2+45x+54=0 (1)

Уравнение x3+ax2+bx+c=0 заменой x=y-a3 приводится к виду y3+
+py+q=0.
В нашем случае x=y-4:
y-43+12y-42+45y-4+54=0
y3-12y2+48y-64+12y2-96y+192+45y-180+54=0,
y3-3y+2=0. (2)
В этом уравнении p=-3, q=2. Корни уравнения находятся по формуле Кардано:
y=u+v=3-q2+q24+p327+3-q2-q22+p327,
Причем кубические корни u и v набираются так, чтобы
u*v=-p3=1 (3)
Для уравнение (2):
u=3-1+1-1=3-1
Один корень u=-1.
Известно, что если один из корней n-ой степени известен, то остальные n-1 корень получаются умножением известного корня на степени первообразного корня n-ой степени из 1.
В нашем случае n=1, а первообразный корень равен:
ε=1
Таким образом для u имеется три варианта:
u1=-1, u2=-1*ε, u3=-1*ε2
Из условия (3) находим v1=1-1=-1