Решить уравнение операционным методом: x''+x'=tet, x0=0, x'0=0

Если X(p) есть изображение искомого решения x(t), то изображение производных при нулевых начальных условиях и изображение правой части уравнения
xt=Xp
x't=pXp-x0=pXp
x''p=p2Xp-p*x0-x'0=p2Xp
ft=tet=1p-12
Тогда изображение данного уравнения, т.е. операторное уравнение имеет вид:
p2Xp+pXp=1p-12
Xpp2+p=1p-12
Xp=1p-12p2+p
Для получения оригинала, т.е . функции x(t), разложим изображение на простые слагаемые и восстановим оригинал. используя таблицу:
1p-12p2+p=1pp-12p+1=Ap-1+Bp-12+Cp+1+Dp=App-1p+1+Bpp+1+Cpp-12+Dp-12p+1p-12p+1=Ap3-Ap+Bp2+Bp+Cp3-2Cp2+Cp+Dp3-Dp2-Dp+Dp-12p+1
Находим неопределенные коэффициенты:
1p-12p2+p=p3A+C+D+p2B-2C-D+p-A+B+C-D+Dp-12p+1
Составим систему:
A+C+D=0,B-2C-D=0,-A+B+C-D=0,D=1
A+C+1=0,B-2C-1=0,-A+B+C-1=0,D=1
A+C=-1,B-2C=1,-A+B+C=1,D=1
A=-1-C,B-2C=1,--1-C+B+C=1,D=1
A=-1-C,B-2C=1,1+C+B+C=1,D=1
A=-1-C,B-2C=1,2C+B=0,D=1
A=-1-C,-2C-2C=1,B=-2C,D=1
A=-1-C,-4C=1,B=-2C,D=1
A=-1--14,C=-14,B=-2*-14,D=1
A=-34,C=-14,B=12,D=1
Получаем сумму дробей и по таблице находим оригинал для каждой:
1p-12p2+p=-34*1p-1+12*1p-12-14*1p+1+1p
Искомое решение:
1pL-11
1p-1L-1et
1p-12L-1tet
1p+1=1p--1L-1e-t
xt=-34et+12tet-14e-t+1