Решить уравнение колебаний бесконечной струны ∂2u∂t2=α2∂2u∂x2

Имеем следующую задачу Коши для волнового уравнения
∂2u∂t2=α2∂2u∂x2, x∈-∞,+∞, t>0,
(1)
с начальными условиями
ux,tt=0=φx=0,
(2)
∂u∂tt=0=ψx= 0 если x>5, -α15 если -5<x<0, α15 если 0<x<5.
(3)
Воспользуемся формулой Даламбера для решения волнового уравнения для неограниченной струны
ux,t=12φx-αt+φx+αt+12αx-αtx+αtψsds.
В нашем случае (φx)=0 решение имеет вид
ux,t=12αx-αtx+αtψsds,
где функция ψx определяется формулой (3).
Обозначим через F(y) первообразную функции ψs2α.
Fy=12α-15yψsds=0, при y<-5,-130y+5, при -5≤y<0,-130+y30=130y-5, при 0≤y<5,0, при y≥5.
В качестве нижнего предела взяли -5, поскольку при x<-5 функция ψx=0.
Тогда форму струны можно представить в виде
ux,t=Fx+αt-Fx-αt.
Следовательно, результирующая форма струны в момент времени t представляет сумму двух графиков Fx+αt (на рис . 3) изображен красным) и -Fx-αt (на рис. 3) изображен синим), первый из которых это график Fx смещенный влево на расстояние αt, а второй это график -Fx смещенный вправо на αt