Решить уравнение колебаний бесконечной струны ∂2u∂t2=α2∂2u∂x2. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Решить уравнение колебаний бесконечной струны ∂2u∂t2=α2∂2u∂x2

Решить уравнение колебаний бесконечной струны ∂2u∂t2=α2∂2u∂x2 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить уравнение колебаний бесконечной струны ∂2u∂t2=α2∂2u∂x2, если в начальный момент точкам струны на участке -l;0 была придана скорость равная -αс, а на участке 0;l − скорость равная величине αс; в остальных точках струны начальная скорость равна нулю. Начальное отклонение струны равно нулю во всех точках струны. Изобразить распространение волн импульса в моменты времени t=0, t=l2α, t=lα, t=3l2α, t=5l2α. где l=15, c=5.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Имеем следующую задачу Коши для волнового уравнения
∂2u∂t2=α2∂2u∂x2, x∈-∞,+∞, t>0,
(1)
с начальными условиями
ux,tt=0=φx=0,
(2)
∂u∂tt=0=ψx= 0 если x>15, -α5 если -15<x<0, α5 если 0<x<15.
(3)
Воспользуемся формулой Даламбера для решения волнового уравнения для неограниченной струны
ux,t=12φx-αt+φx+αt+12αx-αtx+αtψsds.
В нашем случае (φx)=0 решение имеет вид
ux,t=12αx-αtx+αtψsds,
где функция ψx определяется формулой (3).
Обозначим через F(y) первообразную функции ψs2α.
Fy=12α-15yψsds=0, при y<-15,-110y+15, при -15≤y<0,-110+y10=110y-15, при 0≤y<15,0, при y≥15.
В качестве нижнего предела взяли -15, поскольку при x<-15 функция ψx=0.
Тогда форму струны можно представить в виде
ux,t=Fx+αt-Fx-αt.
Следовательно, результирующая форма струны в момент времени t представляет сумму двух графиков Fx+αt (на рис . 3) изображен красным) и -Fx-αt (на рис. 3) изображен синим), первый из которых это график Fx смещенный влево на расстояние αt, а второй это график -Fx смещенный вправо на αt

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу