Решить СЛУ 1) методом Ж-Г 2) матричным методом (A-1 проверить)

1) методом Ж-Г
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Умножим первую строку на (1/2). Умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей. Восстановим первую строку. Умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей. Восстановим первую строку. Умножим вторую строку на (2/7). Умножим вторую строку на (3/2) и прибавим к третьей. Восстановим вторую строку. Умножим третью строку на (7/5). Умножим третью строку на (-1/7) и прибавим ко второй. Умножим третью строку на (-1/2) и прибавим к первой. Умножим вторую строку на (1/2) и прибавим к первой.
2-113221-21 2-21~1-1/21/23221-21 1-21~1-1/21/207/21/21-21 1-51~
~1-1/21/207/21/20-3/21/2 1-50~1-1/21/2011/70-3/21/2 1-10/70~1-1/21/2011/7005/7 1-10/7-15/7~
~1-1/21/2011/7001 1-10/7-3~1-1/21/2010001 1-1-3~1-1/20010001 5/2-1-3~
~100010001 2-1-3
x1=2,x2=-1,x3=-3.
2) матричным методом (A-1 проверить)
Предположим
A=2-113221-21; X=x1x2x3; F=2-21
Тогда система уравнений запишется в виде равенства матриц.
AX=F
Определитель матрицы А
Det A=2-113221-21=2*2*1--2*2--1*3*1-1*2+1*3*-2-1*2=5≠0
Следовательно, матрица А не выражена и поэтому имеет обратную матрицу.
A-1=1△=A11A21A31A12A22A32A13A23A33
Где Aij – алгебраическое дополнение, соответствующее элементу aij . Умножая обе части уравнения на матрицу A-1, получим его решение в матричной форме.
X=A-1*F
В данном случае
A11=-1222-21=6
A12=-133211=-1
A13=-14321-2=-8
A21=-13-11-21=-11
A22=-142111=1
A23=-152-11-2=3
A31=-14-1122=-4
A32=-152132=-1
A33=-162-132=7
Отсюда:
A-1=15*6-1-4-11-1-837
A*A-1=2-113221-21*15*6-1-4-11-1-837=15*2*6+-1*-1+1*-82*-1+-1*1+1*32*-4+-1*-1+1*73*6+2*-1+2*-83*-1+2*1+2*33*-4+2*-1+2*71*6+-2*-1+1*-81*-1+-2*1+1*31*-4+-2*-1+1*7=15*500050005=100010001
A*A-1 = E
Подставляя матрицу A-1 в уравнение X=A-1*F, получим решение системы уранвений в виде.
x1x2x3=15*6-1-4-11-1-837*2-21=15*6*2+-1*-2+-4*1-1*2+1*-2+-1*1-8*2+3*-2+7*1=15*10-5-15=2-1-3
Откуда: x1=2;x2=-1;x3=-3
3) найти A-1 с помощью присоединенной
Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.
2-113221-21100010001~1-1/21/23221-211/200010001~
~1-1/21/207/21/21-211/2003/210001~1-1/21/207/21/20-3/21/21/2003/210-1/201~
~1-1/21/2011/70-3/21/21/200-3/72/70-1/201~1-1/21/2011/7005/71/200-3/72/70-8/73/71~
~1-1/21/2011/70011/200-3/72/70-8/53/57/5~1-1/21/20100011/200-1/51/5-1/5-8/53/57/5~
~1-1/2001000113/10-3/10-7/10-1/51/5-1/5-8/53/57/5~
~1000100016/5-1/5-4/5-1/51/5-1/5-8/53/57/5
A-1=65-15-45-1515-15-853575=15*6-1-4-11-1-837
4) методом Крамера (∆ посчитать по методу треугольника и Лапласа)
Подсчитаем сначала главный определитель системы ∆, воспользовавшись следующим правилом (методом треугольников) вычисления определителей третьего порядка:
a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a11*a23*a32-a12*a21*a33
В нашем случае главный определитель равен:
∆=2-113221-21=2*2*1+-1*2*1+1*3*-2-1*2*1--2*2*2-1*3*-1=5
Вычислим определитель методом Лапласа:
a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11*a22a23a32a33-a12*a21a23a31a33+a13*a12a22a31a32
В нашем случае главный определитель равен:
∆=2-113221-21=2*22-21--1*3211+1*321-2=2*2*1--2*2--1*3*1-1*2+1*3*-2-1*2=5
Так как ∆≠0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение