Решить методом Фурье задачу о распространении тепла в ограниченном стержне

Для решения задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (1)
Xx∙T'(t)=X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на Xx∙T(t)
T'(t)T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T'(t)+λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, Xπ⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xπ=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xπ=0
Найдем корни характеристического многочлена
μ2+λ=0, ⟹ μ1,2=±iλ
Общее решение уравнения можно представить в виде
Xx=Acosλx+B sinλx.
Неизвестные коэффициенты A, B найдем из граничных условий
X0=A=0 Xπ=B sinπλ=0
Получили уравнение для нахождения собственных значений λ
sinπλ=0,
πλ=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=n2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinnx, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+n2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Cne-n2t.
Решение ux,t исходной задачи представим в виде ряда
ux,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Cne-n2tsinnx.
Коэффициенты Cn этого ряда найдем из начального условия (2)
ux,0=n=1∞Cnsinnx=sin2x
Коэффициенты Cn являются коэффициентами разложения функции sin2x в ряд Фурье по системе функций sinnxn=1∞