Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Для решения сделаем замену:
y=uv
Тогда:
y'=u'v+uv'
Подставляем в уравнение данные замены:
1+x2u'v+uv'+uv=arctg x
1+x2u'v+1+x2uv'+uv=arctg x
1+x2u'v+u1+x2v'+v=arctg x
Получаем систему уравнений:
1+x2v'+v=01+x2u'v=arctg x
Решим первое уравнение системы:
1+x2v'+v=0
1+x2v'=-v
dvv=-dx1+x2
lnv=-arctg x
v=e-arctg x
Подставим найденное решение во второе уравнение системы и найдём его решение:
1+x2u'e-arctg x=arctg x
du=arctg x1+x2e-arctg xdx
u=earctg x*arctg x1+x2dx=u=arctg xdu=11+x2dv=earctg x1+x2dxv=earctg x=earctg xarctg x-earctg x1+x2dx=earctg xarctg x-earctg xdarctg x=earctg xarctg x-earctg x+C=earctg x*arctg x-1+C
Сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=e-arctg x*earctg x*arctg x-1+C=Ce-arctg x+arctg x-1
Теперь воспользуемся начальным условием и найдём частное решение:
y0=C-1=0
C=1
Тогда частное решение выглядит так:
y=e-arctg x+arctg x-1