Решить дифференциальное уравнение y' = f(x) +xy при заданных начальных условиях x0=a,yx0=ya=0 в заданных пределах [a, b] с шагом не менее b - a10.
Необходимо решить данную задачу двумя методами: методом Эйлера (т.к. это базовый метод численного решения дифференциальных уравнений, позволяющий понять процедуру решения) и методом Рунге-Кутта (т.к. это наиболее распространенный в настоящее время метод решения дифференциальных уравнений, обеспечивающий при невысокой сложности метода достаточно хорошую точность решения задачи). Итогом решения задачи должно быть построение графика полученной функции y = f(x) (минимум по 5-и точкам)
Решение
1. Метод Эйлера численного решения задачи Коши y'=fx;y, yx0=y0 на заданном отрезке с шагом h заключается в вычислении значений функции по итерационным формулам:
yi+1=yi+hfxi;yi; xi+1=xi+h
Проводим вычисления с шагом h=b-a10=1,y0=0,x0=-5.
Т.е. в нашем случае расчетная формула:
yi+1=yi+1,5xi+8sin1,5xi+2+xiyi
Получаем:
y1=0+1,5∙-5+8sin1,5∙-5+2+-5∙0≈-1,8557
y2=-1,8557+1,5∙-4+8sin1,5∙-4+2+-4∙-1,8557≈5,6215
y3=5,6215+1,5∙-3+8sin1,5∙-3+2+-3∙5,6215≈-20,5307
y4=-20,5307+1,5∙-2+8sin1,5∙-2+2+-2∙-20,5307≈10,7989
y5=10,7989+1,5∙-1+8sin1,5∙-1+2+-1∙10,7989≈2,3354
y6=2,3354+1,5∙0+8sin1,5∙0+2+0∙2,3354≈9,6098
y7=9,6098+1,5∙1+8sin1,5∙1+2+1∙9,6098≈17,9133
y8=17,9133+1,5∙2+8sin1,5∙2+2+2∙17,9133≈49,0685
y9=49,0685+1,5∙3+8sin1,5∙3+2+3∙49,0685≈202,4950
y10=202,4950+1,5∙4+8sin1,5∙4+2+4∙202,4950≈1026,3899
Графическое представление решения задачи Коши:
2. Решение дифференциального уравнения вида y'=f(x,y) согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка на каждом шаге итерации сроится следующим образом:
yi+1=yi+16k1i+2k2i+2k3i+k4i
Где коэффициенты вычисляются по формулам:
k1i=hfxi,yi; k2i=hfxi+h2, yi+k1i2
k3i=hfxi+h2, yi+k2i2; k4i=hfxi+h, yi+k3i
Проводим вычисления с шагом h=b-a10=1,y0=0,x0=-5.
Т.е
. в нашем случае расчетные формулы:
k1i=1,5xi+8sin1,5xi+2+xiyi
k2i=1,5xi+0,5+8sin1,5(xi+0,5)+2+xi+0,5yi+k1i2
k3i=1,5xi+0,5+8sin1,5(xi+0,5)+2+xi+0,5yi+k2i2
k4i=1,5xi+1+8sin1,5(xi+1)+2+xi+1yi+k3i
yi+1=yi+k1i+2k2i+2k3i+k4i6
Первый шаг:
k11=1,5∙-5+8sin1,5∙-5+2+-5∙0≈-1,8557
k21=1,5-5+0,5+8sin1,5(-5+0,5)+2+-5+0,50-1,85572≈5,4197
k31=1,5-5+0,5+8sin1,5(-5+0,5)+2+-5+0,50+5,41972≈-10,9500
k41=1,5-5+1+8sin1,5(-5+1)+2+-5+10-10,9500≈43,8544
y1=0+-1,8557+2∙5,4197+2∙-10,9500+43,85446≈5,1564
Второй шаг:
k12=1,5∙-4+8sin1,5∙-4+2+-4∙5,1564≈-20,5712
k22=1,5-4+0,5+8sin1,5(-4+0,5)+2+-4+0,55,1564-20,57122≈13,5678
k32=1,5-4+0,5+8sin1,5(-4+0,5)+2+-4+0,55,1564+13,56782≈-46,1755
k42=1,5-4+1+8sin1,5(-4+1)+2+-4+15,1564-46,1755≈113,7695
y2=5,1564+-20,5712+2∙13,5678+2∙-46,1755+113,76956≈9,8202
Третий шаг:
k13=1,5∙-3+8sin1,5∙-3+2+-3∙9,8202≈-38,7484
k23=1,5-3+0,5+8sin1,5(-3+0,5)+2+-3+0,59,8202-38,74842≈12,2631
k33=1,5-3+0,5+8sin1,5(-3+0,5)+2+-3+0,59,8202+12,26312≈-51,5013
k43=1,5-3+1+8sin1,5(-3+1)+2+-3+19,8202-51,5013≈73,6304
y3=9,8202+-38,7484+2∙12,2631+2∙-51,5013+73,63046≈2,5545
Четвертый шаг:
k14=1,5∙-2+8sin1,5∙-2+2+-2∙2,5545≈-14,8408
k24=1,5-2+0,5+8sin1,5(-2+0,5)+2+-2+0,52,5545-14,84082≈3,0696
k34=1,5-2+0,5+8sin1,5(-2+0,5)+2+-2+0,52,5545+3,06962≈-10,3632
k44=1,5-2+1+8sin1,5(-2+1)+2+-2+12,5545-10,3632≈10,1441
y4=2,5545+-14,8408+2∙3,0696+2∙-10,3632+10,14416≈-0,6595
Пятый шаг:
k15=1,5∙-1+8sin1,5∙-1+2+-1∙-0,6595≈2,9949
k25=1,5-1+0,5+8sin1,5(-1+0,5)+2+-1+0,5-0,6595+2,99492≈6,4229
k35=1,5-1+0,5+8sin1,5(-1+0,5)+2+-1+0,5-0,6595+6,42292≈5,5659
k45=1,5-1+1+8sin1,5(-1+1)+2+-1+1-0,6595+5,5659≈7,2744
y5=-0,6595+2,9949+2∙6,4229+2∙5,5659+7,27446≈5,0483
Шестой шаг:
k16=1,5∙0+8sin1,5∙0+2+0∙5,0483≈7,2744
k26=1,50+0,5+8sin1,5(0+0,5)+2+0+0,55,0483+7,27442≈8,1460
k36=1,50+0,5+8sin1,5(0+0,5)+2+0+0,55,0483+8,14602≈8,3639
k46=1,50+1+8sin1,5(0+1)+2+0+15,0483+8,3639≈12,1059
y6=5,0483+7,2744+2∙8,1460+2∙8,3639+12,10596≈13,7817
Седьмой шаг:
k17=1,5∙1+8sin1,5∙1+2+1∙13,7817≈12,4754
k27=1,51+0,5+8sin1,5(1+0,5)+2+1+0,513,7817+12,47542≈25,1192
k37=1,51+0,5+8sin1,5(1+0,5)+2+1+0,513,7817+25,11922≈34,6020
k47=1,51+1+8sin1,5(1+1)+2+1+113,7817+34,6020≈92,0960
y7=13,7817+12,4754+2∙25,1192+2∙34,6020+92,09606≈51,1173
Восьмой шаг:
k18=1,5∙2+8sin1,5∙2+2+2∙51,1173≈97,5632
k28=1,52+0,5+8sin1,5(2+0,5)+2+2+0,551,1173+97,56322≈249,4310
k38=1,52+0,5+8sin1,5(2+0,5)+2+2+0,551,1173+249,43102≈439,2658
k48=1,52+1+8sin1,5(2+1)+2+2+151,1173+439,2658≈1477,3703
y8=51,1173+97,5632+2∙249,4310+2∙439,2658+1477,37036≈543,1718
Девятый шаг:
k19=1,5∙3+8sin1,5∙3+2+3∙543,1718≈1635,7364
k29=1,53+0,5+8sin1,5(3+0,5)+2+3+0,5543,1718+1635,73642≈4775,4746
k39=1,53+0,5+8sin1,5(3+0,5)+2+3+0,5543,1718+4775,47462≈10270,0165
k49=1,53+1+8sin1,5(3+1)+2+3+1543,1718+10270,0165≈43266,6681
y9=543,1718+1635,7364+2∙4775,4746+2∙10270,020+43266,66816≈13042,0696
Десятый шаг:
k110=1,5∙4+8sin1,5∙4+2+4∙13042,0696≈52182,1933
k210=1,54+0,5+8sin1,5(4+0,5)+2+4+0,513042,0696+52182,19332≈176110,9959
k310=1,54+0,5+8sin1,5(4+0,5)+2+4+0,513042,0696+176110,99592≈454950,8018
k410=1,54+1+8sin1,5(4+1)+2+4+113042,0696+454950,8018≈2339971,2560
y10=13042,0696+52182,1933+2∙176110,9959+2∙454950,8018+2339971,25606≈622088,2437
Графическое представление решения задачи Коши:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
