Решить дифференциальное уравнение y'+5y=e-3x

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение будем искать в виде:
y=ux∙vx => y'=u'v+uv'
Подставим данные значения в исходное уравнение:
u'v+uv'+5uv=e-3x
u'v+uv'+5v=e-3x (*)
Положим выражение в скобках равным нулю:
v'+5v=0 dvdx=-5v dvv=-5dx
Интегрируем обе части уравнения:
dvv=lnv -5dx=-5x+C1
lnv=-5x+C1
Выберем частное решение при C1=0
v=e-5x
Подставим в уравнение (*):
u'e-5x=e-3x u'=e2x => u=12e2x+C
Общее решение уравнения:
y=12e2x+C∙e-5x=12e-3x+Ce-5x