Решить дифференциальное уравнение y''-4y'+5y=0

Составим характеристическое уравнение и найдём его решение:
k2-4k+5=0
D=16-4*1*5=16-20=-4
k1=4-2i2=2-i
k2=4+2i2=2+i
Так как получены сопряжённые комплексные корни, общее решение заданного дифференциального уравнения выглядит так:
y=C1e2xsinx+C2e2xcosx
Чтобы найти частное решение, сначала найдём первую производную от полученного общего решения:
y'=2C1e2xsinx+C1e2xcosx+2C2e2xcosx-C2e2xsinx
Теперь применим заданные начальные условия:
y0=C2=1
y'0=C1+2C2=-1
Получили систему уравнений:
C2=1C1+2C2=-1→C2=1C1=-1-2=-3
Тогда искомое частное решение выглядит так:
y=-3e2xsinx+e2xcosx=e2xcosx-3sinx