Решить дифференциальное уравнение первого порядка: y'+xy=x3

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим сначала линейное однородное уравнение:
y'+xy=0
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их:
dydx=-xy => dyy=-xdx
Интегрируем обе части уравнения:
dyy=lny -xdx=-x22+lnC
lny=-x22+lnC => y=Ce-x22
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=Cxe-x22 => y'=C'xe-x22-x∙Cxe-x22
Подставим данные значения в исходное неоднородное уравнение:
C'xe-x22-x∙Cxe-x22+xCxe-x22=x3
C'xe-x22=x3
C'x=x3∙ex22
Cx=x3∙ex22dx=2x∙x22∙ex22dx=
Выполним замену переменной:
x22=t => xdx=dt
=2t∙etdt=Применим формулу интегрирования по частям:u=t dv=etdtdu=dt v=et=
=2tet-etdt=2tet-et=x2ex22-2ex22+C1
y=Cxe-x22=x2ex22-2ex22+C1∙e-x22=x2-2+C1e-x22