Решить дифференциальное уравнение первого порядка: y-xdx+y+xdy=0

Выполним проверку того, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим следующее равенство:
∂P∂y=∂Q∂x
∂P∂y=(y-x)y'=1
∂Q∂x=(y+x)x'=1
Так как данное равенство выполнилось, данное уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах . Поэтому оно записано в следующем виде:
∂F∂xdx+∂F∂ydy=0
∂F∂x=y-x
∂F∂y=y+x
Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить общий интеграл F(x;y)=0.
Далее найдём функцию F:
F=(y-x)dx=xy-x22+φ(y)
Далее продифференцируем полученный результат по y:
∂F∂y=(xy-x22)y'=x+φy'(y)
Приравняем с изначальной частной производной:
x+φy'y=y+x
φy'y=y
Найдём данную функцию, для этого возьмём интеграл от правой части:
φy=ydy=y22+C
Подставим полученное значение в функцию F и получим общий интеграл данного уравнения:
F=xy-x22+y22+C-общий интеграл