Решить дифференциальное уравнение операторным методом x''+4x'+4x=sin3t+2

Применяем преобразование Лапласа:
x Xp
x' pXp-x0=pXp-1
x'' ppXp-1-x'0=p2Xp-p-1
sin3t 3p2+9
2 2p
И получаем операторное уравнение:
p2Xp-p-1+4pXp-1+4Xp=3p2+9+2p
p+22Xp=3p2+9+2p+p+5
Xp=3p2+9p+22+2pp+22+p+5p+22
Xp=3p2+9p+22+2pp+22+1p+2+3p+22
Первую дробь представим суммой дробей вида:
Ap+2+Bp+22+Cp+Dp2+9
Имеем:
Ap+2+Bp+22+Cp+Dp2+9=Ap+2p2+9+Bp2+9+Cp+Dp+22p2+9p+22
Т.к . числитель при любом p должен равняться 3, то возьмем, p=-2 и получим 13B=3 B=313. Берем p=3i, тогда с учетом того, что 3iC+D-9+12i+4=-15C+12Di+-36C-5D≡3 получаем систему:
-15C+12D=0-36C-5D=3 C=-12169D=-15169
Далее берем p=0 и с учетом найденных ранее значений B,C,D получаем 18A+2713-60169=3 A=12169
Т.е.:
3p2+9p+22=12169∙1p+2+313∙1p+22-12169∙pp2+9-5169∙3p2+9
И изображение:
Xp=181169∙1p+2+4213∙1p+22-12169∙pp2+9-5169∙3p2+9+2pp+22
Используем соотношения:
3p2+9 sin3t; pp2+9 cos3t; 1p+2 e-2t
И применяя теорему о дифференцировании изображения:
tnft -1ndndpnFp
Получаем:
1p+22 te-2t
Далее применяем теорему об интегрировании оригинала:
0tfτdτ Fpp
Получаем:
1pp+22 0tτe-2τdτ=u=τdu=dτdv=e-2τdτv=-e-2τ2=-τe-2τ20t+0te-2τ2dτ=
=-te-2t2-e-2τ40t=1-e-2t-2te-2t4
Восстанавливая оригинал, находим решение задачи Коши:
xt=181169∙e-2t+4213∙te-2t-12169∙cos3t-5169∙sin3t+2∙1-e-2t-2te-2t4=
=12+193338e-2t+2913te-2t-12cos3t+5sin3t169