Решить системы уравнений с помощью правила Крамера и методом обратной матрицы

X1-2x2=33x1+x2=16
с помощью правила Крамера
Вычислим определитель
∆=1-231=1∙1-3∙-2=7≠0
Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера: x1=∆1∆ , x2=∆2∆ , где определители ∆1,∆2 получаются из определителя ∆ путем замены 1-го, 2-го столбцов соответственно на столбец B=316 свободных членов.
Вычислим определители ∆1,∆2
∆1=3-2161=3∙1-16∙-2=35
∆2=13316=1∙16-3∙3=7
Таким образом,
x1=∆1∆=357=5; x2=∆2∆=77=1
методом обратной матрицы
Решим систему по формуле
X=A-1∙B, где X=x1x2,A=1-231, B=316
Найдем обратную матрицу A-1 по формуле
A-1=1∆∙A11A21A12A22
Запишем все алгебраические дополнения
A11=1;A12=-3;A21=2;A22=1
Таким образом, A-1=1712-31
Отсюда искомая матрица
X=17∙12-31∙316=17∙1∙3+2∙16-3∙3+1∙16=17∙357=51
x1=5;x2=1
b) 4x1+2x2-x3=0x1+2x2+x3=1x2-x3=-3
с помощью правила Крамера
Вычислим определитель ∆ матрицы
∆=42-112101-1=4∙2∙-1+0∙2∙1+1∙1∙-1-0∙2∙-1-
-1∙2∙-1-4∙1∙1=-11≠0
Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля . Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера: x1=∆1∆ , x2=∆2∆ , x3=∆3∆, где определители ∆1,∆2,∆3 получаются из определителя ∆ путем замены 1-го, 2-го, 3-го столбцов соответственно на столбец B=01-3 свободных членов.
Вычислим определители ∆1,∆2,∆3
∆1=02-1121-31-1=0∙2∙-1-3∙2∙1-1∙1∙1-(-3)∙2∙-1-
-1∙2∙-1-0∙1∙1=-11
∆2=40-11110-3-1=4∙1∙-1+0∙0∙1+1∙(-3)∙(-1)-0∙1∙-1-
-1∙0∙-1-4∙(-3)∙1=11
∆3=42012101-3=4∙2∙-3+1∙1∙0+2∙1∙0-0∙2∙0-
-1∙2∙-3-4∙1∙1=-22
Таким образом,
x1=∆1∆=-11-11=1; x2=∆2∆=11-11=-1 ; x3=∆3∆=-22-11=2
методом обратной матрицы
Решим систему по формуле
X=A-1∙B, где X=x1x2x3,A=42-112101-1, B=01-3
Найдем обратную матрицу A-1 по формуле
A-1=1∆∙A11A21A31A12A22A32A13A23A33
Для этого вычислим алгебраические дополнения
A11=211-1=2∙-1-1∙1=-3
A21=-2-11-1=-2∙-1-1∙-1=1
A31=2-121=2∙1-2∙(-1)=4
A12=-110-1=-1∙(-1)-0∙1=1
A22=4-10-1=4∙-1-0∙-1=-4
A32=-4-111=-4∙1-1∙-1=-5
A13=1201=1∙1-0∙2=1
A23=-4201=-4∙1-0∙2=-4
A33=4212=4∙2-1∙2=6
Таким образом, A-1=1-11∙-3141-4-51-46
Отсюда искомая матрица
X=-111∙-3141-4-51-46∙01-3=-111-3∙0+1∙1+4∙-31∙0-4∙1-5∙-31∙0-4∙1+6∙-3=
=-111-1111-22=1-12 ; x1=1; x2=-1 ; x3=2
Ответ: a) x1=5;x2=1;b) x1=1; x2=-1 ; x3=2