Решить нелинейное уравнение
xx+33=30
четырьмя различными методами:
- методом бисекции;
- методом хорд;
- методом Ньютона;
- методом простых итераций.
Выполнить по 6 итераций каждым методом, сравнить погрешность вычислений.
Решение
Начальное приближение выберем визуально по графику функции
xx+33+0.30=0
>> x=-2:0.1:2;
>> f=x./(x+3).^(3/2)+0.30;
>> plot(x,f,'-r'), grid on
x=-2:0.1:2;
>> f=x/(x+3).^(3/2)+0.30;
>> plot(x,f,'-r'), grid on
Начальное приближение выберем визуально по графику функции x/(x+3).^(3/2)+0.30=0
Выберем интервал [-1; -0.5].
x -1 -0.5
f(x) 0.3907 -0.0536
x0=fzero('x/(x+3).^(3/2)+0.30',2)
x0 =
-0.9078454225
Итерация 1.
x0=-1+(-0.5)2=-0,75
Для интервала [-1; -0,75]: f(-1) <0,f(-0,75)>0 < - условие f( a) f (b) ≤ 0 выполняется ,
значит, интервал принимается.
Для интервала [-0,75; -0,5]: f (-0.75)>0, f(-0,5) >0 - условие f (a) f (b ) ≤0 не выполняется ,
значит, интервал отбрасывается. Дальнейшие итерации производятся аналогично ,
результаты итераций обобщены в таблице
итерация a b (a+b)/2 f(a) f(b) f((a+b)/2)
1 -1 -0,5 -0,75 -0,05355 0,173509 0,077777778
2 -1 -0,75 -0,875 -0,05355 0,077778 0,017531742
3 -1 -0,875 -0,9375 -0,05355 0,017532 -0,016504829
4 -0,9375 -0,875 -0,90625 -0,0165 0,017532 0,000869441
5 -0,9375 -0,90625 -0,92188 -0,0165 0,000869 -0,007726245
6 -0,92188 -0,90625 -0,91406 -0,00773 0,000869 -0,003405853
Метод хорд.
Отличается от метода бисекции тем, что новая точка, разделяющая исходный
интервал [a, b] на два участка, находится как точка пересечения с осью ОХ хорды –
отрезка, соединяющего точки f(a) и f(b)
Итерация 1.
[-1; -0.5].
xk+1=-0,5--0,5--1f-0,5-f-1*f(-0,5)
Для интервала [-1; -0,8821]: f(a)f(x) < 0- принимается
Для интервала [-0,8821; -0.5]: f(x)f(b) >0 - отбрасывается
Дальнейшие итерации производятся аналогично, результаты итераций обобщены в
таблице
№ a b f(a) f(b) x f(x)
1 -1 -0,5 -0,05355 0,173508894 -0,8821 0,01382063
2 -1 -0,88207 -0,05355 0,013820629 -0,9063 0,00086183
3 -1 -0,90626 -0,05355 0,000861828 -0,9077 0,00005283
4 -1 -0,90775 -0,05355 5,28311E-05 -0,9078 0,00000324
5 -1 -0,90784 -0,05355 3,23519E-06 -0,9078 0,00000020
6 -1 -0,90785 -0,05355 1,98099E-07 -0,9078 0,00000001
Метод Ньютона.
Найдем производную исходной функции
f'x=xx+332+0.30 ' =6 - x2 x + 352
При нахождении корня уравнения методом Ньютона, итерационный процесс определяется
формулой
Итерация 1.
Выберем в качестве начального приближения левый конец интервала : x0=-1
x1=-1-f-1f'-1=-1--0,053550,618718=-0,91344465
Дальнейшие итерации производятся аналогично, результаты итераций обобщены в
таблице
N xk f(x) f'(x) h = f(x) / f'(x)
1 -1 -0,05355 0,618718 -0,08655535
2 -0,91344465 -0,00307 0,549654 -0,005578247
3 -0,9078664 -1,1E-05 0,545557 -2,09802E-05
4 -0,90784542 -1,6E-10 0,545542 -2,94854E-10
5 -0,90784542 0 0,545542 0
6 -0,90784542 0 0,545542 0
Метод простых итераций .
fx=xx+332+0.30
x=xx+332+0.30+x
φ(x)=xx+332+0.30+x
φ'x=xx+332+0.30+x'=6 - x2 x + 352+ 1
Данное уравнение требует преобразования, так как в исходном его виде условие
сходимости φ'x<1 < на интервале [-1;-0.5] не выполняется :
φ'-1=1.61872
φ'-0,5=1.32888
Найдём корректирующую константу С для данного уравнения, такую чтобы выполнялось условие сходимости.
x=C*xx+332+0.30+x
φx=C*xx+332+0.30+x
φ'x=C*6 - x2 x + 352+ 1
C*6 - x2 x + 352+ 1<1
Для нахождения С приравняем получившееся уравнение в левой части к числу меньшему
по модулю чем 1, пусть это будет 0.5.
C*6 - x2 x + 352+ 1=0.5
C=-0.56 - x2 x + 352
Cx=-1=-0,8
φx=-0,8*xx+332+0.30+x
Итерация 1.
x0=-1
x1=-0,8*-1x+332+0.30+(-1)=-0,417157288
Дальнейшие итерации производятся аналогично, результаты итераций обобщены в
таблице
№ xn xn+1
1 -1 -0,9518
2 -0,9518 -0,92957
3 -0,92957 -0,91875
4 -0,91875 -0,91335
5 -0,91335 -0,91064
6 -0,91064 -0,90927
Погрешности вычислений и сравнение результатов.
Метод Значения Погрешность абсолютная Погрешность относительная
Метод бисекции -0,91406 0,006214577 0,006845414
Метод хорд -0,9078 4,54225E-05 5,00333E-05
Метод Ньютона -0,90784542 2,5E-09 2,75377E-09
Метод простых итераций -0,90927 0,001424578 0,001569185
Истинное значение (матлаб) -0,907845423 При сравнении результатов, сделанных четырьмя различными методами и эталонного
результата, полученного из Матлаба, делаем вывод, что наилучший результат на 6-ти
итерациях даёт метод Ньютона.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
