Решить методом Рунге-Кутта дифференциальное уравнение первого порядка при заданном начальном условии на отрезке [0;1] с шагом h=0.1. Все вычисления производить с округлѐнными до четвѐртого десятичного знака числами.
y'=4x-y y0=1
Решение
При решении уравнения y'=fx,y с начальным условием yx0=y0 используются следующие расчетные формулы
xi=x0+ih i=0,1,…,n-1
yi+1=yi+∆yi (i=0,1,…,n-1)
∆yi=16k1i+2k2i+2k3i+k4i i=0,1,…,n-1
где коэффициенты ki вычисляются по формулам
k1i=hfxi,yi k2i=hfxi+h2;yi+k1i2
k3i=hfxi+h2;yi+k2i2 k4i=hfxi+h;yi+k3i
Для i=0 вычисляем коэффициенты ki
k10=hfx0,y0=0,14∙x0-y0=0,14∙0-1=-0,1
k2(0)=hfx0+h2;y0+k102=0,10,2-0,95=-0,0750
k30=hfx0+h2;y0+k202=0,10,2-0,9625=-0,0763
k40=hfx0+h;y0+k30=0,10,4-0,9619=-0,0562
∆y0=16k10+2k20+2k30+k40==16-0,1+2∙-0,0750+2∙-0,0763-0,0562=-0,0765
x1=x0+h=0+0,1=0,1 y1=y0+∆y0=1-0,0765=0,9235
Для i=1 вычисляем коэффициенты ki
k11=hfx1,y1=0,14x1-y1=0,10,4-0,9235=-0,0524
k2(1)=hfx1+h2;y1+k112=0,10,6-0,8973=-0,0297
k31=hfx1+h2;y1+k212=0,10,6-0,9087=-0,0309
k41=hfx1+h;y1+k31=0,10,8-0,8926=-0,0093
∆y1=16k11+2k21+2k31+k41==16-0,0524+2∙-0,0297+2∙-0,0309-0,0093=-0,0305
x2=x1+h=0,1+0,1=0,2 y2=y1+∆y1=0,9235-0,0305=0,8930
Для i=2 вычисляем коэффициенты ki
k12=hfx2,y2=0,14x2-y2=0,10,8-0,8930=-0,0093
k2(2)=hfx2+h2;y2+k122=0,11-0,8884=0,0112
k32=hfx2+h2;y2+k222=0,11-0,8986=0,0101
k42=hfx2+h;y2+k32=0,11,2-0,9031=0,0297
∆y2=16k12+2k22+2k32+k42==16-0,0093+2∙0,0112+2∙0,0101+0,297=0,0551
x3=x2+h=0,2+0,1=0,3 y3=y2+∆y2=0,8930+0,0551=0,9481
Для i=3 вычисляем коэффициенты ki
k13=hfx3,y3=0,14x3-y3=0,11,2-0,9481=0,0252
k2(3)=hfx3+h2;y3+k132=0,11,4-0,9607=0,0439
k33=hfx3+h2;y3+k232=0,11,4-0,9701=0,0430
k43=hfx3+h;y3+k33=0,11,6-0,9911=0,0609
∆y3=16k13+2k23+2k33+k43==160,0252+2∙0,0439+2∙0,0430+0,0609=0,0433
x4=x3+h=0,3+0,1=0,4 y4=y3+∆y3=0,9481+0,0433=0, 9914
Для i=4 вычисляем коэффициенты ki
k14=hfx4,y4=0,14x4-y4=0,11,6-0,9914=0,0609
k2(4)=hfx4+h2;y4+k142=0,11,8-1,0219=0,0778
k34=hfx4+h2;y4+k242=0,11,8-1,0303=0,0770
k44=hfx4+h;y4+k35=0,12-1,0684=0,0932
∆y4=16k14+2k24+2k34+k44==160,0609+2∙0,0778+2∙0,0770+0,0932=0,0773
x5=x4+h=0,4+0,1=0,5 y5=y4+∆y4=0,9914+0,0773=1,0687
Для i=5 вычисляем коэффициенты ki
k15=hfx5,y5=0,14x5-y5=0,12-1,0687=0,0931
k2(5)=hfx5+h2;y5+k152=0,12,2-1,1153=0,1085
k35=hfx5+h2;y5+k252=0,12,2-1,1230=0,1077
k45=hfx5+h;y5+k35=0,12,4-1,1764=0,1224
∆y5=16k15+2k25+2k35+k45==160,0931+2∙0,1085+2∙0,1077+0,1224=0,1080
x6=x5+h=0,5+0,1=0,6 y6=y5+∆y5=1,0687+0,1080=1,1767
Для i=6 вычисляем коэффициенты ki
k16=hfx6,y6=0,14x6-y6=0,12,4-1,1767=0,1223
k2(6)=hfx6+h2;y6+k162=0,12,6-1,2379=0,1362
k36=hfx6+h2;y6+k262=0,12,6-1,2448=0,1355
k46=hfx6+h;y6+k36=0,12,8-1,3122=0,1488
∆y6=16k16+2k26+2k36+k46==160,1223+2∙0,1362+2∙0,1355+0,1488=0,1358
x7=x6+h=0,6+0,1=0,7 y7=y6+∆y6=1,1767+0,1358=1,3125
Для i=7 вычисляем коэффициенты ki
k17=hfx7,y7=0,14x7-y7=0,12,8-1,3125=0,1488
k2(7)=hfx7+h2;y7+k172=0,13-1,3869=0,1613
k37=hfx7+h2;y7+k272=0,13-1,3932=0,1607
k47=hfx7+h;y7+k37=0,13,2-1,4732=0,1727
∆y7=16k17+2k27+2k37+k47==160,1488+2∙0,1613+2∙0,1607+0,1727=0,1609
x8=x7+h=0,7+0,1=0,8 y8=y7+∆y7=1,3125+0,1609=1,4734
Для i=8 вычисляем коэффициенты ki
k18=hfx8,y8=0,14x8-y8=0,13,2-1,4734=0,1727
k2(8)=hfx8+h2;y8+k182=0,13,4-1,5598=0,1840
k38=hfx8+h2;y8+k282=0,13,4-1,5654=0,1835
k48=hfx8+h;y8+k38=0,13,6-1,6569=0,1943
∆y8=16k18+2k28+2k38+k48==160,1727+2∙0,1840+2∙0,1835+0,1943=0,1837
x9=x8+h=0,8+0,1=0,9 y9=y8+∆y8=1,4734+0,1837=1,65 71
Для i=9 вычисляем коэффициенты ki
k19=hfx9,y9=0,1x9-y9=0,13,6-1,6571=0,1943
k2(9)=hfx9+h2;y9+k192=0,13,8-1,7543=0,2046
k39=hfx9+h2;y9+k292=0,13,8-1,7594=0,2041
k49=hfx9+h;y9+k39=0,14-1,8612=0,2139
∆y9=16k19+2k29+2k39+k49==160,1943+2∙0,2046+2∙0,2041+0,2139=0,2043
x10=x9+h=0,9+0,1=1 y10=y9+∆y9=1,6571+0,2043=1,8614
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
