Решить методом Рунге-Кутта дифференциальное уравнение первого порядка при заданном начальном условии на отрезке [0;1] с шагом h=0.1. Все вычисления производить с округлѐнными до четвѐртого десятичного знака числами.
y'=x-y y0=1
Решение
При решении уравнения y'=fx,y с начальным условием yx0=y0 используются следующие расчетные формулы
xi=x0+ih i=0,1,…,n-1
yi+1=yi+∆yi (i=0,1,…,n-1)
∆yi=16k1i+2k2i+2k3i+k4i i=0,1,…,n-1
где коэффициенты ki вычисляются по формулам
k1i=hfxi,yi k2i=hfxi+h2;yi+k1i2
k3i=hfxi+h2;yi+k2i2 k4i=hfxi+h;yi+k3i
Для i=0 вычисляем коэффициенты ki
k10=hfx0,y0=0,1x0-y0=0,10-1=-0,1
k2(0)=hfx0+h2;y0+k102=0,10,05-0,95=-0,09
k30=hfx0+h2;y0+k202=0,10,05-0,955=-0,0905
k40=hfx0+h;y0+k30=0,10,1-0,9095=-0,0810
∆y0=16k10+2k20+2k30+k40==16-0,1+2∙-0,09+2∙-0,0905-0,0810=-0,0903
x1=x0+h=0+0,1=0,1 y1=y0+∆y0=1-0,0903=0,9097
Для i=1 вычисляем коэффициенты ki
k11=hfx1,y1=0,1x1-y1=0,10,1-0,9097=-0,0810
k2(1)=hfx1+h2;y1+k112=0,10,15-0,8692=-0,0719
k31=hfx1+h2;y1+k212=0,10,15-0,8738=-0,0724
k41=hfx1+h;y1+k31=0,10,2-0,8373=-0,0637
∆y1=16k11+2k21+2k31+k41==16-0,0810+2∙-0,0719+2∙-0,0724-0,0637=-0,0722
x2=x1+h=0,1+0,1=0,2 y2=y1+∆y1=0,9097-0,0722=0,8375
Для i=2 вычисляем коэффициенты ki
k12=hfx2,y2=0,1x2-y2=0,10,2-0,8375=-0,0638
k2(2)=hfx2+h2;y2+k122=0,10,25-0,8056=-0,0556
k32=hfx2+h2;y2+k222=0,10,25-0,8097=-0,0560
k42=hfx2+h;y2+k32=0,10,3-0,7815=-0,0482
∆y2=16k12+2k22+2k32+k42==16-0,0638+2∙-0,0556+2∙-0,0560-0,0482=-0,0559
x3=x2+h=0,2+0,1=0,3 y3=y2+∆y2=0,8375-0,0559=0,7816
Для i=3 вычисляем коэффициенты ki
k13=hfx3,y3=0,1x3-y3=0,10,3-0,7816=-0,0482
k2(3)=hfx3+h2;y3+k132=0,10,35-0,7575=-0,0408
k33=hfx3+h2;y3+k232=0,10,35-0,7612=-0,0511
k43=hfx3+h;y3+k33=0,10,4-0,7305=-0,0331
∆y3=16k13+2k23+2k33+k43==16-0,0482+2∙-0,0408+2∙-0,0511-0,0331=-0,0442
x4=x3+h=0,3+0,1=0,4 y4=y3+∆y3=0,7816-0,0442=0, 7374
Для i=4 вычисляем коэффициенты ki
k14=hfx4,y4=0,1x4-y4=0,10,4-0,7374=-0,0337
k2(4)=hfx4+h2;y4+k142=0,10,45-0,7206=-0,0271
k34=hfx4+h2;y4+k242=0,10,45-0,7239=-0,0274
k44=hfx4+h;y4+k35=0,10,5-0,7100=-0,0210
∆y4=16k14+2k24+2k34+k44==16-0,0337+2∙-0,0271+2∙-0,0274-0,0210=-0,0273
x5=x4+h=0,4+0,1=0,5 y5=y4+∆y4=0,7374-0,0273=0, 7101
Для i=5 вычисляем коэффициенты ki
k15=hfx5,y5=0,1x5-y5=0,10,5-0,7102=-0,0210
k2(5)=hfx5+h2;y5+k152=0,10,55-0,6996=-0,0150
k35=hfx5+h2;y5+k252=0,10,55-0,7026=-0,0152
k45=hfx5+h;y5+k35=0,10,6-0,6949=-0,0095
∆y5=16k15+2k25+2k35+k45==16-0,0210+2∙-0,0150+2∙-0,0152-0,0095=-0,0152
x6=x5+h=0,5+0,1=0,6 y6=y5+∆y5=0,7101-0,0152=0, 6949
Для i=6 вычисляем коэффициенты ki
k16=hfx6,y6=0,1x6-y6=0,10,6-0,6949=-0,0095
k2(6)=hfx6+h2;y6+k162=0,10,65-0,6902=-0,0040
k36=hfx6+h2;y6+k262=0,10,65-0,6929=-0,0043
k46=hfx6+h;y6+k36=0,10,7-0,6906=0,0009
∆y6=16k16+2k26+2k36+k46==16-0,0095+2∙-0,0040+2∙-0,0043+0,0009=-0,0042
x7=x6+h=0,6+0,1=0,7 y7=y6+∆y6=0,6949-0,0042=0, 6907
Для i=7 вычисляем коэффициенты ki
k17=hfx7,y7=0,1x7-y7=0,10,7-0,6907=0,0009
k2(7)=hfx7+h2;y7+k172=0,10,75-0,6916=0,0058
k37=hfx7+h2;y7+k272=0,10,75-0,6965=0,0054
k47=hfx7+h;y7+k37=0,10,8-0,6961=0,0104
∆y7=16k17+2k27+2k37+k47==160,0009+2∙0,0058+2∙0,0054+0,0104=0,0056
x8=x7+h=0,7+0,1=0,8 y8=y7+∆y7=0,6907+0,0056=0, 6963
Для i=8 вычисляем коэффициенты ki
k18=hfx8,y8=0,1x8-y8=0,10,8-0,6963=0,0104
k2(8)=hfx8+h2;y8+k182=0,10,85-0,7015=0,0149
k38=hfx8+h2;y8+k282=0,10,85-0,7038=0,0146
k48=hfx8+h;y8+k38=0,10,9-0,7109=0,0189
∆y8=16k18+2k28+2k38+k48==160,0104+2∙0,0149+2∙0,0146+0,0189=0,0147
x9=x8+h=0,8+0,1=0,9 y9=y8+∆y8=0,6963+0,0147=0, 7110
Для i=9 вычисляем коэффициенты ki
k19=hfx9,y9=0,1x9-y9=0,10,9-0,7110=0,0189
k2(9)=hfx9+h2;y9+k192=0,10,95-0,7205=0,0230
k39=hfx9+h2;y9+k292=0,10,95-0,7038=0,0178
k49=hfx9+h;y9+k39=0,11-0,7288=0,0271
∆y9=16k19+2k29+2k39+k49==160,0189+2∙0,0230+2∙0,0178+0,0271=0,0213
x10=x9+h=0,9+0,1=1 y10=y9+∆y9=0,7110+0,0213=0, 7323
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
