Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка с

Найдем корни характеристического уравнения:
p2+5p+20=0
D=b2-4ac=25-4*20=-55
p1,2=-5±-552
Для определения времени наблюдения
используем вещественную часть найденных корней -2.5 и вычислим шаг интегрирования
y'=z, y0=5z'=30-5z-20y, z0=10
Формулы для расчетов:
1) Расчет промежуточных шагов.
y z=f z’=φi
yk
zk
φ1=30-5zk-20yk
yk+h2*f1
zk+h2*φ1
φ2=30-5zk+h2*φ1-20yk+h2*f1
yk+h2*f2
zk+h2*φ2
φ3=30-5zk+h2*φ2-20yk+h2*f2
yk+h*f3
zk+h*φ3
φ4=30-5zk+φ3-20yk+f3
2) Расчет новой точки
Расчет промежуточных шагов,
y z=fi z’=φi
5 10 -120
5,3 6,4 -108
5,192 6,76 -107,64
5,4056 3,5416 -95,82
Расчет новой точки
y1 5,398616
z1 3,529
t=0,06
Расчет промежуточных шагов,
y z=fi z’=φi
5,398616 3,529 -95,61732
5,504486 0,6604804 -83,392122
5,41843041 1,02723634 -83,5047899
5,46025018 -1,4812874 -71,7985666
Расчет новой точки
y1 5,452847461
z1 -1,483097105
t= 0
i= 0 y z=fi z’=φi
y1 5,398616
5 10 -120
z1 3,529
5,3 6,4 -108
5,192 6,76 -107,64
5,4056 3,5416 -95,82
t= 0,06
i= 1 y z=fi z’=φi
y1 5,452847461
5,398616 3,529 -95,61732
z1 -1,483097105
5,504486 0,6604804 -83,392122
5,41843041 1,02723634 -83,5047899
5,46025018 -1,4812874 -71,7985666
t= 0,12
i= 2 y z=fi z’=φi
y1 5,248596774
5,45284746 -1,48309711 -71,6414637
z1 -5,104476263
5,40835455 -3,63234102 -60,0053859
5,34387723 -3,28325868 -60,4612512
5,25585194 -5,11077218 -49,5631779
t= 0,18
i= 3 y z=fi z’=φi
y1 4,865485988
5,24859677 -5,10447626 -49,4495542
z1 -7,471646479
5,09546249 -6,58796289 -38,9694353
5,05095789 -6,27355932 -39,6513611
4,87218321 -7,48355793 -30,0258746
t= 0,24
i= 4 y z=fi z’=φi
y1 4,373561037
4,86548599 -7,47164648 -29,9514874
z1 -8,763291823
4,64133659 -8,3701911 -20,9757764
4,61438025 -8,10091977 -21,7830062
4,3794308 -8,77862685 -13,6954818
t= 0,3
i= 5 y z=fi z’=φi
y1 3,831442298
4,37356104 -8,76329182 -13,6547616
z1 -9,178291668
4,11066228 -9,17293467 -6,34857229
4,098373 -8,95374899 -7,19871498
3,8363361 -9,19521472 -0,75064834
t= 0,36
i= 6 y z=fi z’=φi
y1 3,285660982
3,8314423 -9,17829167 -0,73738763
z1 -8,918188753
3,55609355 -9,2004133 4,880195516
3,5554299 -9,0318858 4,050831022
3,28952915 -8,93524181 8,885626027
t= 0,42
i= 7 y z=fi z’=φi
y1 2,770915053
3,28566098 -8,91818875 8,877724132
z1 -8,174036387
3,01811532 -8,65185703 12,89697876
3,02610527 -8,53127939 12,13429153
2,77378422 -8,19013126 15,47497194
t= 0,48
i= 8 y z=fi z’=φi
y1 2,310990545
2,77091505 -8,17403639 15,45188087
z1 -7,117303146
2,52569396 -7,71047996 18,03852057
2,53960065 -7,63288077 17,37239076
2,31294221 -7,13169294 19,39962056
t= 0,54
i= 9 y z=fi z’=φi
y1 1,920118832
2,31099055 -7,11730315 19,36670482
z1 -5,894345885
2,09747145 -6,536302 20,73208099
2,11490149 -6,49534072 20,17867387
1,9212701 -5,90658271 21,10751152
t= 0,6
i= 10 y z=fi z’=φi
y1 1,604572952
1,92011883 -5,89434589 21,06935278
z1 -4,623868
1,74328846 -5,2622653 21,44555739
1,76225087 -5,25097916 21,00987835
1,60506008 -4,63375318 21,06756427
t= 0,66
i= 11 y z=fi z’=φi
y1 1,364342311
1,60457295 -4,623868 21,02788095
z1 -3,396746411
1,46585691 -3,99303157 20,64801961
1,48478201 -4,00442741 20,32649695
1,36430731 -3,40427818 19,73524476
t= 0,72
i= 12 y z=fi z’=φi
y1 1,194761896
1,36434231 -3,39674641 19,69688584
z1 -2,277624062
1,26243992 -2,80583984 18,78040081
1,28016712 -2,83333439 18,56332962
1,19434225 -2,28294663 17,52788822
t= 0,78
i= 13 y z=fi z’=φi
y1 1,08800705
1,1947619 -2,27762406 17,49288239
z1 -1,307711868
1,12643317 -1,75283759 16,23552447
1,14217677 -1,79055833 16,10925628
1,0873284 -1,31106869 14,8087755
t= 0,84
i= 14 y z=fi z’=φi
y1 1,034396214
1,08800705 -1,30771187 14,77841834
z1 -0,508313411
1,04877569 -0,86435932 13,34628271
1,06207627 -0,90732339 13,29509152
1,03356765 -0,51000638 11,87867895
t= 0,9
i= 15 y z=fi z’=φi
y1 1,023470852
1,03439621 -0,50831341 11,85364278
z1 0,115332903
1,01914681 -0,15270413 10,38058441
1,02981509 -0,19689588 10,3881776
1,02258246 0,114977245 8,973464558
t= 0,96
i= 16 y z=fi z’=φi
y1 1,044843538
1,02347085 0,115332903 8,953918451
z1 0,570214069
1,02693084 0,383950456 7,541630941
1,03498937 0,341581831 7,592303536
1,04396576 0,570871115 6,266329193
t= 1,08
i= 18 y z=fi z’=φi
y1 1,088821835
1,04484354 0,570214069 6,252058902
z1 0,871941924
1,06194996 0,757775836 4,972121626
1,06757681 0,719377717 5,051575157
1,0880062 0,873308578 3,873333094
t= 1,14
i= 19 y z=fi z’=φi
y1 1,146827513
1,08882184 0,871941924 3,863853674
z1 1,041552438
1,11498009 0,987857535 2,761110468
1,11845756 0,954775238 2,856972583
1,14610835 1,043360279 1,861031613
t= 1,2
i= 20 y z=fi z’=φi
y1 1,211638209
1,14682751 1,041552438 1,855687554
z1 1,10279914
1,17807409 1,097223065 0,952402958
1,1797442 1,070124527 1,054493272
1,21103498 1,104822034 0,255190141
Вычислим в Матлаб:
>> dsolve( 'D2y +5*Dy+20*y =30' , 'y(0) = 5', 'Dy(0) = 10' )

ans =

3/2+7/2*exp(-5/2*t)*cos(1/2*55^(1/2)*t)+15/22*55^(1/2)*exp(-5/2*t)*sin(1/2*55^(1/2)*t)

Результаты расчетов вручную (Excell) и расчеты из Матлаб обобщены в таблице
Шаг t (ручной расчет) (Матлаб)
0 0 5 5
1 0,06 5,39862 5,39855
2 0,12 5,45285 5,45276
3 0,18 5,2486 5,2485
4 0,24 4,86549 4,86541
5 0,3 4,37356 4,37352
6 0,36 3,83144 3,83144
7 0,42 3,28566 3,28571
8 0,48 2,77092 2,771
9 0,54 2,31099 2,31111
10 0,6 1,92012 1,92026
11 0,66 1,60457 1,60473
12 0,72 1,36434 1,3645
13 0,78 1,19476 1,19491
14 0,84 1,08801 1,08814
15 0,9 1,0344 1,03451
16 0,96 1,02347 1,02356
17 1,02 1,04484 1,04491
18 1,08 1,08882 1,08887
19 1,14 1,14683 1,14685
20 1,2 1,21164 1,21164