Решить используя метод вариации постоянной

Используем метод вариации произвольных постоянных.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y''-9y'+18=0
k2-9k+18=0
k1=3;k2=3
получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
Y=C1e3x+C2e6x
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Z1xe3x+Z2xe6x
Составим систему:
Z1'xy1+Z2'xy2=0Z1'xy1'+Z2'xy2'=fxa0x
В данном случае:
y1=e3x;y2=e6x
y1'=3e3x;y2'=6e6x
fx=9e3x1+e-3x
a0x=1
Таким образом:
e3xZ1'x+e6xZ2'x=03e3xZ1'x+6e6xZ2'x=9e3x1+e-3xСистему решим по формулам Крамера:
W=e3xe6x3e3x6e6x=e3x*6e6x-3e3x*e6x=3e9x≠0значит, система имеет единственное решение.
W1=0e6x9e3x1+e-3x6e6x=0*6e6x-9e3x1+e-3x*e6x=-9e9x1+e-3x
Z1'x=W1W=-9e9x1+e-3x3e9x=-31+e-3xZ1x=-31+e-3xdx=-lne3x+1+C1
W2=e3x03e3x9e3x1+e-3x=e3x*9e3x1+e-3x-3e3x*0=9e6x1+e-3x
Z2'x=W2W=9e6x1+e-3x3e9x=31+e3xZ2x=ex1-e2xdx=3x-lne3x+1+C2
В результате:
y=-lne3x+1+C1e3x+3x-lne3x+1+C2e6x