Решить дифференциальные уравнения (указав их тип)

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''-y=0. Для этого составим характеристическое уравнение λ2-1=0 и найдём его корни
λ1=-1; λ2=1
Общее решение однородного уравнения будет
yо.о.=C1e-x+C2ex
Частное решение, соответствующее правой части f(x)=2cosx будем искать в виде:
yчн.=Asinx+Bcosxxt
Характеристическое число функции f(x)=2cosx равно r1=a+bi=0+i=i, поэтому t=0, так как r1=i не является корнем характеристического уравнения, тогда
yчн.=Asinx+Bcosx
Имеем:
y'чн.=Asinx+Bcosx'=Acosx-Bsinx
y''чн.=Acosx-Bsinx'=-Asinx -Bcosx
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение:
-Asinx -Bcosx-Asinx+Bcosx=2cosx
-2Asinx -2Bcosx=2cosx
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, находим:
A=0; B=-1
Таким образом,
yчн.=-cosx
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть
yо.н.=yо.о.+yчн.,
илиyо.н.=C1e-x+C2ex-cosx
Ответ: yо.н.=C1e-x+C2ex-cosx.