Решение игр (m×n) с помощью линейного программирования

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Игроки B1 B2 B3 B4 B5 a=minAi
A1 4 7 6 14 8 4
A2 8 13 11 10 9 8
A3 5 5 4 2 3 2
b=maxBi
8 13 11 14 9
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a=maxai=8, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3 . Верхняя цена игры b=minbj=8.
Равенства a=b свидетельствует о том, что седловая точка это 2;1.
Седловая точка указывает решение на пару альтернатив A2;B1. Цена игры равна 8.
Решим игру с помощью линейного программирования.
Обозначим через x1, x2, x3 – вероятности применения стратегий игрока A1, A2, A3, а вероятности использования стратегий B1, B2, B3 – через y1, y2, y3, y4, y5.
Для первого игрока математическая модель задачи имеет вид
Fx=x1+x2+x3→min
при ограничениях
4x1+8x2+5x3≥17x1+13x2+5x3≥16x1+11x2+4x3≥114x1+10x2+2x3≥18x1+9x2+3x3≥1; x1,x2,x3≥0.
Решая задачу в Excel при помощи Поиска решения, получим
x1=0; x2=0,125; x3=0; Fmin=0,125
Тогда цена игра и оптимальное решение равно:
v=1Fmin=10,125=8
p1=v∙x1=8∙0=0;
p2=v∙x2=8∙0,125=0,0156;
p3=v∙x3=8∙0=0.
Таким образом, игрок A должен придерживаться стратегии
p*=0; 0,0156; 0; v*=8.
Для второго игрока математическая модель задачи имеет вид:
Gy=y1+y2+y3+y4+y5→max
при ограничениях
4y1+7y2+6y3+14y4+8y5≤18y1+13y2+11y3+10y4+9y5≤15y1+5y2+4y3+2y4+3y5≤1
y1,y2,y3,y4,y5≥0
Решая задачу в Excel при помощи Поиска решения, получим
y1=0,125; y2=0; y3=0;y4=0;y5=0; Gmax=0,125
Тогда цена игра и оптимальное решение равно:
v=1Gmax=10,125=8
q1=v∙y1=8∙0,125=0,0156;
q2=v∙y2=8∙0=0;
q3=v∙y3=8∙0=0.
q4=v∙y4=8∙0=0.
q5=v∙y5=8∙0=0.
Таким образом, игрок B должен придерживаться стратегии
q*=0,0156; 0; 0; 0; 0; v*=8.
p*=; v*=8.
Ответ:
Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P=0; 0,0156; 0
Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q=0,0156; 0; 0; 0; 0
Цена игры: y=8.