Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

В данной задаче период разложения T=2, полупериод l=1 .
Разложим функцию в ряд Фурье:
fx~a02+n=1∞ancosπnxl+bnsinπnxl=a02+n=1∞ancosπnx+bnsinπnx
a0=1l-llfxdx=-10fxdx+01fxdx=-10xdx+01-dx=x22-10+-x01=022--122+-1--0=-32
an=1l-llfxcosπnxldx=-10xcosπnxdx+01-cosπnxdx=-10xcosπnxdx-01cosπnxdx=-10xcosπnxdx-sinπnxπn01=*
Вычислим для начала неопределенный интеграл:
xcosπnxdx=uv-vdu=u=xdu=dxdv=cosπnxdxv=sinπnxπn=x*sinπnxπn-1πnsinπnxdx=x*sinπnxπn+cosπnxπ2n2
Вернемся к определенному интегралу:
*=-10xcosπnxdx-sinπnxπn01=x*sinπnxπn+cosπnxπ2n2-10-sinπnxπn01=0*sinπn*0πn+cosπn*0π2n2--1*sinπn*-1πn+cosπn*-1π2n2-sinπnπn-sinπn*0πn=0+-1nπ2n2-0+-1nπ2n2-0-0=0
bn=1l-llfxsinπnxldx=-10xsinπnxdx+01-sinπnxdx=-10xsinπnxdx-01sinπnxdx=-10xsinπnxdx+cosπnxπn01=*
Вычислим для начала неопределенный интеграл:
xsinπnxdx=uv-vdu=u=xdu=dxdv=sinπnxdxv=-cosπnxπn=-x*cosπnxπn+1πncosπnxdx=-x*cosπnxπn+sinπnxπ2n2
Вернемся к определенному интегралу:
*=-10xsinπnxdx+cosπnxπn01=-x*cosπnxπn+sinπnxπ2n2-10+cosπnxπn01=-0*cosπn*0πn+sinπn*0π2n2---1*cosπn*-1πn+sinπn*-1π2n2+cosπn*1πn-cosπn*0πn=0+0---1*-1nπn+0+-1nπn-1πn=-1πn
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу, получаем:
fx~-322+n=1∞-1πnsinπnx~-34+n=1∞-1πnsinπnx