Разложить в ряд по степеням z ту ветвь функции fz=z+i

Находим производные, значения производных в нуле z=0 и устанавливаем формулу по индукции:
f'z=12z+i-12=12z+i, f'0=12f0=12∙1+i2=221+i;
f''z=-14z+i-32=-z+i4z+i, f''0=-i4f0=-i4∙1+i2=-i2221+i;
f'''z=38z+i-52=3∙z+i28z+i, f'''0=3∙i28∙1+i2=32i2231+i;
fIVz=-1516z+i-72=-15∙z+i316z+i, fIV0=-15∙i316∙1+i2=-152i3241+i;
fn0=-1n+1∙n‼!2in-12n1+i
cn=1n!fn0=-1n+1∙2in-12n1+in‼,
где n‼! и n‼- нечетный и четный факториал соответственно.
fz=z+i=1n-1n+1∙2in-1zn2n1+in‼=21+i1n-1n+1∙in-1zn2nn‼
Область сходимости: z<2.
Ответ