Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом T=4) функцию

T=4 l=2
Разложение периодической функции на произвольном периоде в ряд Фурье имеет вид:
fx=a02+n=1∞ancosπnxl+bnsinπnxl
a0=1l-llf(x)dx=12-224-xdx=124x-x222-2=12∙8-2+8+2=8
an=1l-llf(x)∙cosπnxldx=12-22(4-x)cosπnx2dx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=4-x dv=cosπnx2dx
du=-dx v=2πn∙sinπnx2
=12∙2∙4-xπn∙sinπnx22-2+2πn-22sinπnx2dx=
=12∙2∙4-xπn∙sinπnx22-2-2π2n2∙cosπnx22-2=
=2πn∙sinπn-6πn∙sin-πn-2π2n2∙cosπn+2π2n2∙cos-πn=0
bn=1l-llf(x)∙sinπnxldx=12-22(4-x)sinπnx2dx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=4-x dv=sinπnx2dx
du=-dx v=-2πn∙cosπnx2
=12∙-24-xπn∙cosπnx22-2-2πn-22cosπnx2dx=
=12∙-24-xπn∙cosπnx22-2-4π2n2sinπnx22-2=
=12-4πn∙cosπn+12πn∙cos-πn-4π2n2∙sinπn+4π2n2sin-πn=
=4πn∙cosπn=4πn∙(-1)n
Таким образом, разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид:
fx=4+n=1∞4πn∙(-1)n∙sinπnx2
Запишем несколько частичных сумм ряда:
n=1
fx ~ 4-4sinπx2π
n=2
fx ~ 4-4sinπx2π+2sinπxπ
n=3
fx ~ 4-4sinπx2π+2sinπxπ-4sin3πx23π
Построим графики: