Разложить функцию fx в ряд Фурье с периодом

Разложить функцию fx в ряд Фурье с периодом, равным длине интервала задания функции.
Дана кусочно-гладкая функция
fx=0, -2<x≤-1,3, -1<x≤2.
Продолжим функцию fx периодически на всю числовую ось, получим периодическую функцию f0x с периодом T=2--2=4.
Функция fx непрерывна на главном периоде -2, 2, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Производная
f'x=0, -2<x≤-1,0, -1<x≤2.
имеет на отрезке -2, 2 конечное число точек разрыва первого рода.
Таким образом, функция fx удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда на отрезке -2, 2 функция fx является кусочно-гладкой.
Ряд Фурье запишем в виде:
fx~a02+n=1∞ancosπnx2+bnsinπnx2.
Вычислим коэффициенты:
a0=12-22fxdx=12-2-1fxdx+12-12fxdx=12-2-10dx+12-123dx=
=322--1=92,
an=12-22fxcosπnx2dx=12-2-1fxcosπnx2dx+12-12fxcosπnx2dx=
=12-2-10cosπnx2dx+12-123cosπnx2dx=32⋅2πnsinπnx2-12=
=3πnsinπn-sin-πn2=3πnsinπn2=3πn, n=4k-3,0, n=4k-2,-3πn, n=4k-1,0, n=4k.
bn=12-22fxsinπnx2dx=12-2-1fxsinπnx2dx+12-12fxsinπnx2dx=
=12-2-10sinπnx2dx+12-123sinπnx2dx=-32⋅2πncosπnx2-12=
=-3πncosπn-cos-πn2=3πn, n=4k-3,-6πn, n=4k-2,3πn, n=4k-1,0, n=4k.
Таким образом,
fx~94+k=1∞3π4k-3cos4k-3πx2+sin4k-3πx2-
-k=1∞6π4k-2sin4k-2πx2+
+k=1∞3π4k-1-cos4k-1πx2+sin4k-1πx2.
Замечание . Если не использовать разбивку на несколько сумм, то разложение в ряд Фурье имеет вид:
fx~94+n=1∞3πnsinπn2cosπnx2-3πncosπn-cosπn2sinπnx2.
2