Рассмотреть задачу целевого программирования

Z1=2x1+x2; z2=2x2
x1+2x2≤44x1+x2≤4
x1,2≥0
Множество допустимых решений имеет вид
Найдем точки, оптимальные по критериям z1 и z2 в отдельности. Для этого построим векторы, имеющие направления векторов 2;1 и 0;2, и перпендикулярно им – линии уровня. По линиям уровня определяются оптимальные точки A и B, расположенные на прямой x1+2x2=4.
Составим таблицу, в которой поместим характерные точки допустимой области и соответствующие им образы в пространстве критериев.
Точка множества допустимых решений x1
x2
Образ точки в множестве критериев z1=2x1+x2
z2=2x2
O
0 0 O'
0 0
A
0 2 A'
2 4
B
4/7
12/7
B'
20/7 24/7
C
1 0 C'
2 0
Изобразим множество достижимых критериальных векторов Z, паретову границу P(Z) и идеальную точку z*:
Идеальная точка z*207;4 (ее координаты – суть наибольшие значения z1 и z2) . Решим графически задачу нахождения достижимой точки z1',z2', дающей минимум отклонения от идеальной точки.
Отклонение задается функцией ρz,z*=maxz1*-z1,z2*-z2
Отклонение от идеальной точки z*207;4 до точки A':
ρA',z*=max207-2,4-4=67;
Отклонение от идеальной точки z*207;4 до точки B':
ρB',z*=max207-207,4-247=47;
Таким образом, будем искать точку на прямой A'B', отклонение от которой до идеальной точки будет минимальное (это будет соответствовать функции отклонения).
A'B':2z1+3z2-16=0;
Аналитически запишем задачу минимизации отклонения от идеальной точки в виде задачи линейного программирования
f=207-z12+4-z22→min или f=207-z12+4-z22→min
2z1+3z2-16=0.
Выразим из уравнения 2z1+3z2-16=0 переменную z1 и подставим в целевую функцию.
2z1+3z2-16=0⟹z1=8-32z2;
f=207-8-32z22+4-z22=134z22-1647z2+208049.
Найдем первую производную целевой функции и приравняем ее к нулю
dfdz2=132z2-1647=0⟹z2'=32891⟹z1'=8-32∙32891=23691.
Таким образом, координаты достижимой точки z1',z2'=23691,32891