Рассматривается прибор, состоящий из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых состоит из нескольких элементов. Известны вероятности отказов каждого из элементов:
p1=0.3, p 2=0.2, p 3=0.1, p 4=0.1, p 5=0.2, p 6=0.2, p 7=0.3.
При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А составляет С1 = 7, блока В – С2 = 10 единиц стоимости. Предполагается, что за период времени Т замененный блок не выйдет ещё раз из строя.
1. Найти случайную величину – стоимость восстановления прибора за период времени Т;
1.1. построить её ряд и функцию распределения;
1.2. вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2. Построить модель найденной случайной величины для двадцати приборов (методом жребия получить её 20 значений):
2.1. найти экспериментальные ряд и функцию распределения;
2.2. найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;
2.3. построить графики теоретических и экспериментальных ряда и функции распределения.
3. С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального распределения теоретическому с уровнем значимости α=0,05.
Замечание. Расчеты произвести с точностью до четырех знаков после запятой.
Решение
1. Определим значения случайной величины , которая является дискретной. Случайная величина «стоимость ремонта» может принимать только четыре значения.
– ни один блок не потребует замены;
– только блок А потребует замену;
– только блок В потребует замену;
– оба блока потребуют замену.
Чтобы вычислить вероятность каждого из значений , сначала найдём вероятности выхода из строя блоков и .
Обозначим событие – выход из строя блока , – отказ i-го элемента (i = 1,2,3). Блок откажет, если откажет, хотя бы одна из его частей (первая состоит из элемента 1, вторая – 2 и 3). Первая часть откажет, если произойдет событие , вторая . По определению суммы событий:.
В силу теоремы сложения совместных событий:
.
В силу независимости событий получим:
Определим вероятность того, что блок не откажет за время (событие ):
Обозначим – выход из строя блока , – отказ i-го элемента (i = 4,5,6,7). Блок потребует ремонта, если откажут два участка блока (первый участок – 4,5, второй участок – 6,7). Т.е. событие , может быть записано как:.
В силу теоремы совместности и независимости событий:
Т.о.:
Вероятность безотказной работы блока :
Найдем вероятности значений случайной величины .
СВ имеет значение, если произойдет событие . События независимы, поэтому:
.
Значение , отказывает , не отказывает .
1.1 Сведем полученные результаты в табл.1, которая и будет рядом распределения рассматриваемой случайной величины
.
Таблица 1
xi 0 7 10 17
pi 0.6015 0.2753 0.0845 0.0387 1.0000
Многоугольник распределения имеет вид:
Найдем функцию распределения случайной величины, используя соотношение:
При ;
При ;
При ;
При
;
При
Таким образом,
Изобразим график функции распределения:
1.2 Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Для этого воспользуемся формулами
Вычисления сведем в таблицу:
Таблица 2
0 7 10 17
0.6015 0.2753 0.0845 0.0387 1.0000
0 1.9271 0.845 0.6579 = 3.4300
0 13.4897 8.45 11.1843 = 33.1240
= 11.7649
= 21.3591
= 4.6216
2. Приступим к построению модели данной случайной величины. Этот процесс будем осуществлять методом жребия с помощью случайных чисел , т.е. значений случайной величины равномерно распределенной в интервале [0,1). Моделируемые значения случайной величины обозначим (j=1,2,…,20).
Для рассматриваемой случайной величины правило моделирования примет вид:
примет значение 0, если
7, если
10, если
17, если
Для удобства, сведем правило в таблицу:
Таблица 3
Интервал
1 0; 0.602 0
2 0.602; 0.877 7
3 0.877; 0.961 10
4 0.961; 1 17
Приступая к моделированию, η возьмем первое число из табл. 1 (равномерно распределенные случайные числа). Для того чтобы начало было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Он родился 16.10. Поэтому начнем с 16-й строки 10-го столбца. Это число 11, следовательно, r1= 0,11, оно принадлежит первому интервалу [0,9149; 1], поэтому х1 = 0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
