Рассчитайте значение неизвестного объема продукции для потребителя так

1. Рассчитываем значение неизвестного объема продукции для потребителя так, чтобы задача была сбалансированной.
В общем случае условие разрешимости транспортной задачи состоит в том, что сумма запасов поставщиков в пунктах отправления (ПО) должна быть равна суммарной потребности потребителей в пунктах назначения (ПН) , то есть транспортная задача должна быть закрытой.
Согласно условию нашей задачи имеем:
m = 4; n = 5;
= a1 + a2 + a3 + a4 = 16 + 15 + 14 + 15 = 60.
Выражение для определения неизвестного значения b5 имеет вид:
b5 = – b1 – b2 – b3 – b4 = 60 – 6 – 12 – 13 – 20 = 9.  
Таким образом, условие разрешимости транспортной задачи выполнено.
Вводим обозначения: xij – объемы перевозок грузов между ПО Ai и ПН Bj; cij – заданные стоимости перевозки единицы продукции между ПО Ai и ПН Bj.
Математическая модель нашей транспортной задачи в виде задачи линейного программирования формулируется так: найти совокупность значений переменных xij ≥ 0, минимизирующих целевую функцию (суммарные затраты на перевозки) при ограничениях по m = 4 поставщикам , и n = 5 потребителям , .
2. Выполняем первоначальное распределение поставок методом наименьших затрат.
Составляем рабочую таблицу представления числовых данных задачи:
ПН B1 B2 B3 B4 B5 ui
ПО
b1=6 b2=12 b3=13 b4=20 b5=9
A1 a1=16
30
2
5
6
15
A2 a2=15
5
29
9
5
7
A3 a3=14
16
24
14
6
26
A4 a3=15
13
28
4
25
8
vj
Выполняем первоначальное распределение поставок X(0) методом наименьших затрат.
В соответствии с этим методом перевозки распределяются в первую очередь в те ячейки распределительной таблицы, которые имеют наименьшую стоимость. Если же наименьшие стоимости совпадают, то ячейку можно выбрать произвольно. Объем перевозки, вносимый в ячейку, определяется как минимальное значение среди значений запаса и потребности xij = min(ai, bj). При этом исключается или только строка, или только столбец. Соответственно, или в столбце, или в строке образуется остаток (возможно, даже нулевой), который распределяется на последующих шагах процесса распределения на общих основаниях .
а). Наименьшая стоимость 2 в ячейке (1, 2). Назначаем x12 = 12. Столбец B2 исключаем. Остаток a1 = 4.
б). Наименьшая стоимость 4 в ячейке (4, 3). Назначаем x43 = 13. Столбец B3 исключаем. Остаток b4 = 2.
в). Наименьшая стоимость 5 в ячейках (2, 1) и (2, 4). Выбираем и назначаем x21 = 6. Столбец B1 исключаем. Остаток a2 = 9.
г). Наименьшая стоимость 5 в ячейке (2, 4). Назначаем остаток x24 = 9. Строку A2 исключаем. Остаток b4 = 11.
д). Наименьшая стоимость 6 в ячейках (1, 4) и (3, 4). Выбираем и назначаем остаток x14 = 4. Строку A1 исключаем. Остаток b4 = 7.
е). Наименьшая стоимость 6 в ячейке (3, 4). Назначаем остаток x34 = 7. Столбец B4 исключаем. Остаток a3 = 7.
ж). Заполняем остатками x35 = 7 и x45 = 2 незаполненные ячейки (3, 5) и (4, 5).
Все перевозки распределены.
Первоначальное распределение поставок X(0) транспортной задачи, составленное по методу наименьших затрат, имеет вид:
X(0) ПН B1 B2 B3 B4 B5 ui
ПО
b1=6 b2=12 b3=13 b4=20 b5=9
A1 a1=16
30
2
5
6
15
12
4
A2 a2=15
5
29
9
5
7
6
9
A3 a3=14
16
24
14
6
26
7
7
A4 a3=15
13
28
4
25
8
13
2
vj
Первоначальное распределение поставок содержит m + n – 1 = 4 + 5 – 1 = 8 занятых клеток, следовательно, опорное решение – невырожденное.
Значение целевой функции:
Z(X(0)) = 2·12+6·4+5·6+5·9+6·7+26·7+4·13+8·2 = 415. 
3. Полученное распределение поставок оптимизируем методом потенциалов, используя оценки свободных клеток.
Для проверки, является ли распределение поставок оптимальным, строится система потенциалов поставщиков ui и потребителей vj.
Чтобы распределение поставок было оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:
1) для каждой занятой ячейки должно выполняться ui + vj + cij = 0;
2) для каждой свободной ячейки должно выполняться ui + vj + cij ≥ 0.
Проверяем, является ли найденное распределение поставок X(0) оптимальным. Для этого строим систему потенциалов ui и vj из условия выполнения равенства ui + vj + cij = 0 для каждой из занятых ячеек.
1). Полагаем u1 = 0 (1).
2). Для занятой ячейки (1, 2); v2 = –2 (2); u1 + v2 + c12 = 0 – 2 + 2 = 0. 
3). Для занятой ячейки (1, 4); v4 = –6 (3); u1 + v4 + c14 = 0 – 6 + 6 = 0.
4). Для занятой ячейки (2, 4); u2 = 1 (4); u2 + v4 + c24 = 1 – 6 + 5 = 0.
5). Для занятой ячейки (2, 1); v1 = –6 (5); u2 + v1 + c21 = 1 – 6 + 5 = 0.
6). Для занятой ячейки (3, 4); u3 = 0 (6); u3 + v4 + c34 = 0 – 6 + 6 = 0.
7). Для занятой ячейки (3, 5); v5 = –26 (7); u3 + v5 + c35 = 0 – 26 + 26 = 0.
8). Для занятой ячейки (4, 5); u4 = 18 (8); u4 + v5 + c45 = 18 – 26 + 8 = 0.
9). Для занятой ячейки (4, 3); v3 = –22 (9); u4 + v3 + c43 = 18 – 22 + 4 = 0.
Найденные значения потенциалов заносим в рабочую таблицу (в скобках указан номер шага их вычисления)