Исходные данные: Схема №6.
Рис.1
Таблица 1
Вариант L, мГн R1, кОм R2, кОм R3, кОм Е, В
05 20 2 2 2 10
3. Рассчитайте все токи и напряжение на L в три момента времени t: 0- , 0+ , ∞.
4. Рассчитайте классическим методом переходный процесс в виде i2(t), i3(t), uL(t). Проверьте правильность расчетов, выполненных в п. 4, путем сопоставления их с результатами расчетов в п. 3.
5. Постройте графики переходных токов и напряжения, рассчитанных в п. 4. Определите длительность переходного процесса, соответствующую переходу цепи в установившееся состояние с погрешностью 5%.
6. Рассчитайте ток i2 операторным методом.
Решение
Находим токи i1(t), i2(t), i3(t) и напряжение uL(t) в три момента времени t = 0- , 0+ , ∞.
Момент t = 0–. Он соответствует стационарному состоянию цепи до коммутации. Резистор R3 отключен от цепи. От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения и uL(0–) = 0. Ток i1(0-) находим по формуле:
i10-=ER1+R2=102∙103+2∙103=2,5∙10-3=2,5 мА.
Так как в момент времени t = 0- ток i10-=i20-, то i20-=2,5 мА.
Момент t = 0+. Схема после коммутации показана на рисунке 2.
Рис. 2
Это первое мгновение после замыкания ключа. В соответствие с законом коммутации
i20-=i20+=2,5 мА.
Остальные величины находим путем составления и решения системы уравнений по законам Кирхгофа, описывающих электрическое состояние цепи в момент t = 0+.
-i10++i20++i30+=0i10+R1+i30+R3=Ei10+R1+i20+R2+uL0+=E.
После числовых подстановок получим:
-i10++2,5∙10-3+i30+=02∙103∙i10++2∙103∙i30+=102∙103∙i10++2∙103∙2,5∙10-3+uL0+=10.
Решая систему, находим:
i10+=3,75 мА, i30+=1,25 мА, uL0+=-2,5 В.
Момент t = ∞. Означает новое стационарное состояние цепи после окончания переходного процесса. Внешне схема цепи при t = ∞ соответствует рис. 2, причем uL∞=0 , а токи рассчитываются по формулам:
i1∞=ER1+R2∙R3R2+R3=102+2∙22+2∙103=3,33 мА;
i2∞=i1∞R3R2+R3=3,33∙10-32∙1032∙103+2∙103=1,665 мА;
i3∞=i1∞-i2∞=3,33-1,665=1,665 мА.
Расчет токов i2(t), i3(t) и напряжение uL(t) после коммутации классическим методом.
Переходный процесс в цепях первого порядка (с одним реактивным элементом) описывается уравнением вида
ft=fпр+fсвt=fпр+Aept, (1)
где fпр=f∞ - принужденная составляющая искомой величины, равная ее значению при t = ∞; fсвt – свободная составляющая; A – постоянная интегрирования; р – корень характеристического уравнения, определяющий в конечном итоге длительность переходного процесса
. Так как р является общей величиной для всех токов и напряжений в конкретной цепи, то расчет переходного процесса целесообразно начать с определения р.
Характеристическое уравнение для расчета р составляется по операторной схеме замещения, отражающей работу цепи после коммутации, и показанной на рис.3.
Рис. 3
Zp=R1+(R2+pL)R3R2+R3+pL.
Принимая Z(p) = 0, получим характеристическое уравнение
R1(R2+R3+pL)+R2R3+pLR3R2+R3+pL=0.
Решение уравнения дает корень
p=-R1R2+R1R3+R2R3LR1+R3=-2∙2+2∙2+2∙2∙10620∙10-32+2∙103=-150∙103с-1.
Постоянная времени цепи
τ=1p=1150∙103=6,67∙10-6 c=6,67мкс.(2)
Расчет i2(t).
В соответствии с (1) запишем:
i2t=i2пр+A1ept.
Так как i2пр=i2∞=1,665 мА, а i20+=2,5 мА, то находим А1:
i20+=1,665+A1ep∙0=2,5 мА.
Откуда А1 = 2,5 - 1,665 = 0,835ꞏ10-3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
