Рассчитать токи в ветвях методом контурных токов

Определяем токи во всех ветвях методом контурных токов.Обозначим на схеме токи во всех ветвях, контурные токи и направления обхода контуров (по часовой стрелке), (рис. 2). Пусть ток İн1 протекает в контуре I (контур, содержащий резисторы R1 и R3), а ток İн2 протекает в контуре II (контур, содержащий резисторы R3 и R2).
416306010402500
Рис. 2. Расчетная схема цепи
Составим уравнения для каждого контура по II закону Кирхгофа:- для контура I
İ1К а11 – İ2К а12 = Ė1 ; (1)
- для контура II
İ2К а22 - İ1К а21 =- Ė2 ; (2)–
Определим комплексные сопротивления ветвей схемы. Номер ветви соответствует номеру тока, протекающего в ней (например ток İ1 протекает в ветви 1, рис. 2))
Z1 = R1 = 10 Ом:
Z2 = R3 + (Х3 – Х4)j = 11 + (12 – 17)j = 11 - 5j Ом:Z3 = R2 – Х1j = 5– 4j Ом:
Тогда коэффициенты в уравнениях (1) и (2) будут равны:
а11 = Z1 + Z2 = 10 + 11 - 5j = 21 - 5j Ом;
а22 = Z2 + Z3 = (11 - 5j) + (5– 4j =16 - 9j Ом;
а12 = Z2 = 11 - 5j Ом;
а21 = Z2 = 11 - 5j Ом;
Определим комплексы ЭДС, действующих в ветвях схемы
Действующие значения ЭДС, действующих в ветвях схемы
Е1 ;= Е1макс /√2 = 310/1,414 = 219 В
Е2 ;= Е2макс /√2 = 310/1,414 = 219 В
Комплексы ЭДС,
Ė1 ;= 219ej º =219 В;
Ė2 ;= 219ej60 º = 109,5 + 189,66j В;
64008055880000Подставив значения всех коэффициентов в уравнения (1) и (2), получим систему уравнений:
İ1К (21 - 5j) – İ2К(11 - 5j) = 219; (1)
İ2К (16 - 9j) - İ1К(11 - 5j) =- 109,5 + 189,66j; (2)–
64486826860500или
İ1К (21 - 5j) – İ2К(11 - 5j) = 219; (1)
- İ1К(11 - 5j) + İ2К (16 - 9j) =- 109,5 + 189,66j; (2)–
Решив полученную систему уравнений в интегрированном пакете MathCAD, получим.:
İ1К= 12,98 – 7,42j = 14,95ej330,2 º
İ2К= 8,79 – 16,06j = 18,31ej61,3 º
Находим токи в ветвях схемы
İ 1= İ1К= 12,98 – 7,42j = 14,95ej330,2º
İ2= İ2К - İ1К= (8,79 – 16,1j) – (12,98 – 7,42j) = -4,18 – 8,64j = 9,6ej244,2º;
İ 3 = -İ2К= -(8,79 – 16,1j) = -8,79 + 16,06j = 18,31ej118,6º
Действующие значения токов в ветвях
I1 = 14.95 A;
I2 = 9,6 A;
I3 = 18,31 A;
Для найденных токов проверим выполнение I закона Кирхгофа для узла В:
İ 1 + İ 2 + İ 3 = 0;
(12,98 – 7,42j) + (-4,18– 8,64j) +(-8,79 + 16,06j) = 0,01 + 0j ≈ 0;
Проверка выполняется.
3 . Проверим правильность расчета токов, составив уравнения баланса активных и реактивных мощностей цепи.
Так как направление ЕДС совпадают с направлениями токов, то оба источника работают в режиме генератора электрической энергии.
Комплекс полной мощности источников питания
S1 = Ė1 İ1*; S2 = Ė2İ3*
где İ1*; и İ3*;- сопряженные комплексы токов:
İ1* = 12,98 – 7,42j = 14,95 e-j330,2º;İ3*= -8,79 - 16,06j = 18,31e-j118,6º
S1 = Ė1 İ1*= 219e-0º * 14,95 e-j330,2º;= 3274,3 e-j330,2º = 2842,62 +1624,98j;
S2 = Ė2İ3* = 219ej60 º * 18,31e-j118,6º = 4009,9 e-j58,6º = 2088,43 -3425,68j;
Sист = S1 + S1 = (2842,62 +1624,98j) + (2088,43 -3425,68j);
Sист == 4926,05 – 1800,7j;
Таким образом активная мощность, вырабатываемая источниками питания
Рист = 4926,05 Вт, реактивная мощность – Q ист = 1800,7 ВАр
Определяем активные и реактивные мощности, потребляемые элементами цепи:
Активная мощность, потребляемая элементами цепи:
РН = РН1 + РН2 + РН3;
Активные мощности, расходуемые в ветвях схемы:
РН1 = I12R1 = 14,952 * 10 = 2235,37 Вт;
РН2 = I22R3 = 9,62 * 11 = 1013,34 Вт;
РН3 = I32R2 = 18,312 * 5 = 1675,94 Вт;
Общая активная мощность, расходуемая в нагрузке
РН = 2235,37 + 1013,34 + 1675,94 = 4924,65 Вт
Реактивная мощность, потребляемая элементами цепи:
QН = QН1 + QН2 + QН3;
Активные мощности, расходуемые в ветвях схемы:
QН1 = I12X1 = 14,952 * 0 = 0 ВАр;
QН2 = I22X2 = 9,62 * (-5) = -460,61 ВАр;
QН3 = I32X3 = 18,312 * (-4) = -1340,75 ВАр;
Общая реактивная мощность, расходуемая в нагрузке
QН = 0 + (-460,61) + (-1340,75) = - 1801,36 Вт
Отрицательная величина реактивной мощности свидетельствует о емкостном характере нагрузки.
Проверка баланса мощности
РИСТ = РН;; 4926,05 ≈ 4924,65 Вт
QИСТ = QН;-1800,7 ≈ -1801,36 ВАр
Поскольку баланс активных и реактивных мощностей выполняется, то расчет произведен верно