Раскрыть статическую неопределимость методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси

На рис.3 представлена статически неопределимая балка.
Запишем уравнения равновесия для нее:
Fx=HA=0; Fy=RA+RB-q∙4,8+4q=0=>RA+RB=0,8q;
MzB=MA-4RA+4q∙4,8-q∙4,8∙2,4=0=>MA-4RA=-7,68q.
Как видно, неизвестных реакций здесь 4, а уравнений равновесия -−только 3. Говорят, что степень статической неопределимости этой балки равна 1, или что балка один раз статически неопределима.
Как обычно, если для определения реакций не хватает уравнений статики, нужно записать уравнения совместности перемещений. Для балок в этом качестве используются условия закрепления:
y0=0; y'0=0(в сечении x=0 находится заделка)
y2=0; в сечении x=4 находится шарнирная опора.
Отметим, что составлено три дополнительных уравнения совместности, в то время как для нахождения реакций не хватало лишь одного. Это связано с тем, что в дальнейшем потребуется определить еще две постоянные интегрирования для дифференциального уравнения изогнутой оси.
Запишем его по двум участкам балки (рис.3). При этом будем следовать правилам метода уравнивания постоянных интегрирования.
На первом участке 0≤x≤4 м:
EIzy''=-MA+RA∙x, EIzy'=C-MA∙x+RA∙x22,
EIzy=C∙x+D-MA∙x22+RA∙x36.
На втором участке 4≤x≤8,8 м:
EIzy''=-MA+RA∙x+RB∙x-4-q∙x-422.
Перейдем к выражению для прогиба:
EIzy=C∙x+D-MA∙x22+RA∙x36+RB∙x-436-q∙x-4424.
Учтем теперь граничные условия. Поскольку сечение x = 0 находится на первом участке, подставляем x = 0 в выражения EIzy' и EIzy для первого участка, получаем С = D = 0 . Для сечения x = 4, являющегося границей первого и второго участков, можно использовать выражение EIzy для любого из них. Получаем недостающее уравнение и решаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
RA+RB=0,8q: RA=2,88q
MA-4RA=-7,68q: => RB=-2,08q
-8MA+10,67RA=0: MA=3,84q.
2. Построение эпюр внутренних усилий.
Теперь, когда известны все внешние силы, приложенные к балке, при построении эпюр можно рассматривать любую сторону от сечения.
Балка разбивается на два участка.
На первом участке рассмотрим все внешние силы слева от произвольного сечения, находящегося на расстоянии x1 от заделки
0≤x1 ≤l=4 м
Qyx1=RA=2,88q кН; Mzx1=-MA+RA∙x1=-3,24q+2,88q∙x1=>Mz0=-3,84q кНм;Mz4=-3,84+2,88q∙4=7,68q кНм;
Для второго участка x2 расстояние от правого, свободного конца балки
0≤x2 ≤1,2l=4,8 м
Qyx2=-P+q∙x2=>Qy0=-4q;Qy4,8=-4q+q∙4,8=0,8q;
Mzx2=P∙x2-q∙x222=>Mz0=0;Mz4,8=4q∙4,8-0,5q∙4,82=7,68q .
На втором участке эпюра Q пересекает нулевую линию и эпюра M имеет экстремум . Определим точку пересечения :
Qyx2=-4q+q∙x0=0=>x0=4 м;
Экстремум: Mz4=4q∙4-0,5q∙42=8q .
Рис.2−Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов
4.Найдем момент инерции и момент сопротивления сложного сечения, изображенного на рис.4 (все размеры в см ), относительно его центральной горизонтальной оси. Сечение состоит из двух частей:
−двутавр №10: A1=12 см2; Iz1=198 см4,
−прямоугольник: A2=c∙d=2∙12=24 см2; Iz2=d∙c312=12∙2312=8 см4, оси z1и z2 - собственные главные центральные оси инерции швеллера и прямоугольника.
Рис.4−Центр тяжести поперечного сечения
Сначала определим положение центра тяжести составного сечения