Расчеты на прочность при изгибе. Для стальной балки

I. Определение опорных реакций
Рис. 6
Шарнирно-подвижная опора А накладывает одну связь, имеет одну реакцию RA. Шарнирно-неподвижная опора В накладывает две связи, имеет две составляющие реакции: горизонтальную и вертикальную. Согласно условию задачи в горизонтальном направлении нагрузки отсутствуют. Следовательно, горизонтальная реакция равна нулю, поэтому нет необходимости в ее изображении.
Определяем опорные реакции из уравнений равновесия:
ΣMA = 0; -RB·c + M0 + q·a·0,5a = 0;
RB = (M0 + q·a·0,5a)/c =
= (45 + 10·0,7·0,35)/1,1 = 43,14 кН;
ΣMB = 0; -RA·c + M0 + q·a·(c+0,5a) = 0;
RA = (M0 + q·a·(c+0,5a))/c =
= (45 + 10·0,7·1,45)/1,1 = 50,14 кН.
Проверяем правильность определения опорных реакций:
Σy = RA - RB - q·a = 50,14 - 43,14 - 10·0,7 = 0.
II. Определение внутренних усилий
На первом участке рассматриваем левой отсеченной части балки, а на втором участке равновесие правой части.
I Участок; 0≤x≤a
Q(x) = -q·x = -10·x – уравнение прямой линии;
Qx=0 = 0;
Qx=a = -10·a = -10·0,7 = -7 кН;
M(x) = -q·x·0,5·x = -10·x·0,5·x – уравнение параболы;
Mx=0 = 0;
Mx=a = -10·a·0,5·a = -10·0,7·0,5·0,7 = -2,45 кНм.
II Участок; 0≤x≤c
Q(x) = RB = 43,14 кН;
M(x) = M0 - RB·x = 45 – 43,14·x – уравнение прямой линии;
Mx=0 = 45 кНм;
Mx=с = 45 – 43,14·c = 45 – 43,14·1,1 = -2,45 кНм.
Строим эпюры Q и M (рис . 6, б и в) и выполняем проверку правильности их построения:
на участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q параллельна базисной линии, а эпюра моментов – наклонная прямая;
на участках, где равномерная распределенная нагрузка действует,
эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра моментов ограничена параболой,
выпуклость которой совпадает с направлением распределенной нагрузки;
на участках, где Q отрицательна, значения М убывают;
в сечениях, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q скачки в направлении этих сил и на их величину, а на эпюре М – изломы в направлении действия этих сил;
в том сечении, где приложен момент, на эпюре М ему соответствует скачок на величину приложенного момента и в направлении его действия.
Из эпюры моментов следует, что опасным является крайнее правое сечение, где момент принимает значение Mmax = 45 кНм.
III. Проектный расчет
Из условия прочности при изгибе находим требуемое значение момента сопротивления:
σmax=MmaxWz≤σ⇒Wz≥Mmaxσ=45∙103150∙106=300∙10-6 м3.
Форма сечения Момент сопротивления Размер
Двутавр
Wz≥300 см3 по сортаменту
Прямоугольник с
отношением h/b=1,5
Wz=bh26=b∙1,5b26=0,375b3
b≥3Wz0,375
Круг Wz=πD332=0,0982D3
D≥3Wz0,0982
Кольцо с отношением
d/D=0,8
Wz=πD3321-dD4=0,0579D3
D≥3Wz0,0579
Найденному значению момента сопротивления соответствуют следующие размеры поперечных сечений:
Форма сечения Требуемые размеры Принятые размеры, см
Площадь A, см2
Двутавр
Wz≥300 см3
№24а
(Wx=317 см3)
37,5
Прямоугольник b≥3300∙10-60,375=
=0,0928 м
b=9,5
h=14,5
b∙h=
=9,5∙14,5=
=137,75
Круг D≥3300∙10-60,0982=
=0,145 м
D=14,5
π∙D24=
=3,14∙14,524=
=165,05
Кольцо D≥3300∙10-60,0579=
=0,173 м
D=17,5
d=14
t=1,75
π4∙D21-0,82=
=3,144∙17,52∙0,36=
=86,55
Металлоемкость балки определяется ее объемом, то есть произведением длины на площадь поперечного сечения