Расчет трехфазной электрической цепи при соединении однофазных приемников звездой

1.а Расчет при несимметричной нагрузке, соединенной звездой и наличии нулевого провода
ZN=0
При несимметричной нагрузке, соединенной звездой и наличии нулевого провода, сопротивление которого ZN=0 равно нулю, узловое напряжение равно:
UN=IN*ZN=0
поэтому фазные напряжения приемника:
Ua=UA-UN=UA
Ub=UB-UN=UB
Uc=UC-UN=UC
Фазное напряжение генератора:
Uф=UЛ3=2201,732=127
Uф=127 В
Система фазных напряжений генератора в комплексной форме.
Для фазы «a»:
Ua=UA=Uф*ej*0°=127*ej*0°=127
Ua=UA=127 В
Для фазы «b»:
Ub=UB=Uф*e-j*120°
Ub=UB=127*e-j*120°=127*-0,5-j*0,866=-63,5-j*109,985
Ub=UB=127*e-j*120°=-63,5-j*109,985 В
Для фазы «c»:
Uc=UC=Uф*ej*120°
Uc=UC=127*ej*120°=127*-0,5+j*0,866=-63,5+j*109,985
Uc=UC=127*ej*120°=-63,5+j*109,985 В
Система линейных напряжений генератора и приемника:
Uab=UAB=UA-UB
Uab=UAB=127--63,5-j*109,985=190,5+j*109,985
Uab=UAB=190,5+j*109,985=220*ej*30° В
Ubc=UBC=UB-UC
Ubc=UBC=-63,5-j*109,985--63,5+j*109,985=-j*220
Ubc=UBC=-j*220=220*e-j*90° В
Uca=UCA=UC-UA
Uca=UCA=-63,5+j*109,985-127=-190,5+j*109,985
Uca=UCA=-190,5+j*109,985=220*ej*150° В
Комплексные сопротивления отдельных фаз приемника:
угловая частота:
ω=2*π*f=2*3,14159*50=314,159
ω=314,159 радс
Для фазы «a»:
Za=R1
Za=100 Ом
Для фазы «b»:
Zb=R3+1j*ω*C
Zb=100+1j*314,159*60*10-6=100-j*53,052
Zb=100-j*53,052=113,201*e-j*27,95° Ом
Для фазы «c»:
Zc=R2+RK+j*ω*L
Zc=70+13+j*314,159*0,264=83+j*82,938
Zc=83+j*82,938=117,336*ej*44,98° Ом
Фазные (линейные) токи приемника:
Для фазы «a»:
Ia=IA=UaZa
Ia=IA=127100=1,27
IA=1,27 А
Для фазы «b»:
Ib=IB=UbZb
Ib=IB=127*e-j*120°113,201*e-j*27,95°=1,122*e-j*92,05°=-0,04-j*1,121
IB=1,122*e-j*92,05°=-0,04-j*1,121 А
Для фазы «c»:
Ic=IC=UcZc
Ic=IC=127*ej*120°117,336*ej*44,98°=1,082*ej*75,02°=0,279+j*1,046
IC=1,082*ej*75,02°=0,279+j*1,046 А
Ток в нулевом проводе:
IN=IA+IB+IC
IN=1,27-0,04-j*1,121+0,279+j*1,046=1,509-j*0,076
IN=1,509-j*0,076=1,511*e-j*2,87° А
Рисунок 2 – Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов при несимметричной нагрузке, соединенной звездой и наличии нулевого провода
1.б Расчет при несимметричной нагрузке, соединенной звездой без нулевого провода
ZN=∞
В этом режиме имеем несимметричную трехфазную цепь без нулевого провода.
Для определения узлового напряжения (напряжение смещения нейтрали), вычислим проводимости отдельных фаз приемника в комплексной форме:
Для фазы «a»:
Ya=1Za
Ya=1100=0,01
Ya=0,01 См
Для фазы «b»:
Yb=1Zb
Yb=1113,201*e-j*27,95°=0,009*ej*27,95°=0,0078+j*0,00414
Yb=0,009*ej*27,95°=0,0078+j*0,00414 См
Для фазы «c»:
Yc=1Zc
Yc=1117,336*ej*44,98°=0,009*e-j*44,98°=0,00603-j*0,00602
Yc=0,009*e-j*44,98°=0,00603-j*0,00602 См
По методу двух узлов вычислив узловое напряжение:
UN=UA*Ya+UB*Yb+UC*YcYa+Yb+Yc
UA*Ya=127*0,01=1,27
UB*Yb=127*e-j*120°*0,009*ej*27,95°=-0,04-j*1,121
UC*Yc=127*ej*120°*0,009*e-j*44,98°=0,279+j*1,046
UA*Ya+UB*Yb+UC*Yc=1,509-j*0,076=1,511*e-j*2,87°
Ya+Yb+Yc=0,024-j*0,0019=0,024*e-j*4,52°
UN=1,511*e-j*2,87°0,024*e-j*4,52°=63,223*ej*1,65°=63,196+j*1,824
UN=63,223*ej*1,65°=63,196+j*1,824 В
Фазные напряжения приемника:
Для фазы «a»:
Ua=UA-UN
Ua=127-63,196+j*1,824=63,804-j*1,824
Ua=63,804-j*1,824=63,83*e-j*1,64° В
Для фазы «b»:
Ub=UB-UN
Ub=-63,5-j*109,985-63,196+j*1,824=-126,696-j*111,81
Ub=-126,696-j*111,81=168,977*e-j*138,57° В
Для фазы «c»:
Uc=UC-UN
Uc=-63,5+j*109,985-63,196+j*1,824=-126,696+j*108,161
Uc==-126,696+j*108,161=166,585*ej*139,51° В
Фазные токи приемника:
Для фазы «a»:
Ia=IA=UaZa
Ia=IA=63,83*e-j*1,64°100=0,638*e-j*1,64°=0,638-j*0,018
Ia=IA=0,638*e-j*1,64°=0,638-j*0,018 А
Для фазы «b»:
Ib=IB=UbZb
Ib=IB=168,977*e-j*138,57°113,201*e-j*27,95°=1,493*e-j*110,63°=-0,526-j*1,397
Ib=IB=1,493*e-j*110,63°=-0,526-j*1,397 А
Для фазы «c»:
Ic=IC=UcZc
Ic=IC=166,585*ej*139,51°117,336*ej*44,98°=1,42*ej*94,53°=-0,112+j*1,415
Ic=IC=1,42*ej*94,53°=-0,112+j*1,415 А
Проверка по первому закону Кирхгофа:
Ia+Ib+Ic=0
0,638-j*0,018-0,526-j*1,397-0,112+j*1,415=0
0=0
Рисунок 3 – Диаграмма напряжений и токов режима при несимметричной нагрузке, соединенной звездой без нулевого провода
1.в Расчет при несимметричной нагрузке, при обрыве фазы «a» при наличии нулевого провода
ZN=0
Комплексные сопротивления отдельных фаз приемника:
Za=∞
Zb=100-j*53,052=113,201*e-j*27,95° Ом
Zc=83+j*82,938=117,336*ej*44,98° Ом
Система фазных напряжений генератора в комплексной форме:
Ua=UA=127 В
Ub=UB=127*e-j*120°=-63,5-j*109,985 В
Uc=UC=127*ej*120°=-63,5+j*109,985 В
Система линейных напряжений генератора и приемника:
Uab=UAB=190,5+j*109,985=220*ej*30° В
Ubc=UBC=-j*220=220*e-j*90° В
Uca=UCA=-190,5+j*109,985=220*ej*150° В
Фазные (линейные) токи приемника:
Для фазы «a»:
Ia=IA=UaZa
Ia=IA=127∞=0
Для фазы «b»:
Ib=IB=UBZa
Ib=IB=127*e-j*120°113,201*e-j*27,95°=1,122*e-j*92,05°=-0,04-j*1,121
Ib=IB=1,122*e-j*92,05°=-0,04-j*1,121 А
Для фазы «c»:
Ic=IC=UcZc
Ic=IC=127*ej*120°117,336*ej*44,98°=1,082*ej*75,02°=0,279+j*1,046
IC=1,082*ej*75,02°=0,279+j*1,046 А
Ток в нулевом проводе:
IN=IA+IB+IC
IN=-0,04-j*1,121+0,279+j*1,046 =0,239-j*0,076
IN=0,239-j*0,076=0,251*e-j*17,51° А
Рисунок 4 – Диаграмма напряжений и токов при обрыве фазы «a» и наличии нулевого провода
1.г Расчет при обрыве фазы «a», соединение звездой без нулевого провода
ZN=∞
Из расчета пункта (1.б):
Для фазы «b»:
Yb=0,009*ej*27,95°=0,0078+j*0,00414 См
Для фазы «c»:
Yc=0,009*e-j*44,98°=0,00603-j*0,00602 См
Для фазы «a»:
Ya=1Za
Ya=1∞=0
Вычислим узловое напряжение:
UN=UA*Ya+UB*Yb+UC*YcYa+Yb+Yc
UA*Ya=0
UB*Yb=127*e-j*120°*0,009*ej*27,95°=-0,04-j*1,121
UC*Yc=127*ej*120°*0,009*e-j*44,98°=0,279+j*1,046
UA*Ya+UB*Yb+UC*Yc=0,239-j*0,076=0,251*e-j*17,51°
Ya+Yb+Yc=0,0138-j*0,0019=0,014*e-j*7,76°
Узловое напряжение:
UN=0,251*e-j*17,51°0,014*e-j*7,76°=17,994*e-j*9,76°=17,733-j*3,049
UN=17,994*e-j*9,76°=17,733-j*3,049 В
Фазные напряжения приемника:
Для фазы «a»:
Ua=UA-UN
Ua=127-17,733-j*3,049=109,267+j*3,049
Ua=109,267+j*3,049=109,31*ej*1,59° В
Для фазы «b»:
Ub=UB-UN
Ub=-63,5-j*109,985-17,733-j*3,049=-81,233+j*106,936
Ub=-81,233+j*106,936=134,291*e-j*127,22° В
Для фазы «c»:
Uc=UC-UN
Uc=-63,5+j*109,985-17,733-j*3,049=-81,233+j*113,035
Uc=-81,233+j*113,035=139,197*ej*125,7° В
Фазные токи приемника:
Для фазы «a»:
Ia=IA=Ua*Ya
Ia=IA=109,31*ej*1,59°*0=0
Ia=IA=0
Для фазы «b»:
Ib=IB=Ub*Yb
Ib=IB=134,291*e-j*127,22°*0,009*ej*27,95°=1,186*e-j*99,28°
Ib=IB=1,186*e-j*99,28°=-0,191-j*1,171 А
Для фазы «c»:
Ic=IC=Uc*Yc
Ic=IC=139,197*ej*125,7°*0,009*e-j*44,98°=1,186*ej*80,72°
Ic=IC=1,186*ej*80,72°=0,191+j*1,171
Проверка по первому закону Кирхгофа:
Ia+Ib+Ic=0
0-0,191-j*1,171+0,191+j*1,171=0
0=0
Рисунок 4 – Диаграмма напряжений и токов при обрыве фазы «a», соединение звездой без нулевого провода
1.д Расчет при коротком замыкании фазы «a», соединение звездой без нулевого провода
ZN=∞
Проводимости отдельных фаз приемника в комплексной форме:
При замкнутой накоротко фазе «a»:
Za=0
Ya=10=∞
Из расчета пункта (1.б):
Для фазы «b»:
Yb=0,009*ej*27,95°=0,0078+j*0,00414 См
Для фазы «c»:
Yc=0,009*e-j*44,98°=0,00603-j*0,00602 См
Система фазных напряжений генератора в комплексной форме
UA=127 В
UB=127*e-j*120°=-63,5-j*109,985 В
UC=127*ej*120°=-63,5+j*109,985 В
Узловое напряжение:
UN=UA*Ya+UB*Yb+UC*YcYa+Yb+Yc
UN=UA*∞+UB*Yb+UC*Yc∞+Yb+Yc=∞∞
Раскроем неопределенность, разделив числитель и знаменатель на Ya=∞:
UN=UA*YaYa+UB*Yb∞+UC*Yc∞YaYa+Yb∞+Yc∞=UA+0+01+0+0=UA
UN=UA=127 В
Фазные напряжения приемника:
Для фазы «a»:
Ua=UA-UN
Ua=127-127=0
Ua=0
Для фазы «b»:
Ub=UB-UN=UB-UA=UBA=-UAB
Ub=-63,5-j*109,985-127=-190,5-j*109,985
Ub=-190,5-j*109,985=220*e-j*150° В
Для фазы «c»:
Uc=UC-UN=UC-UA=UCA
Uc=-63,5+j*109,985-127=-190,5+j*109,985
Uc=-190,5+j*109,985=220*ej*150° В
Фазные токи приемника:
Для фазы «a» получаем неопределенность:
Ia=IA=UaZa
Ia=IA=0 0
Для фазы «b»:
Ib=IB=UbZb
Ib=IB=220*e-j*150° 113,201*e-j*27,95°=1,943*e-j*122,05°=-1,031-j*1,647
Ib=IB=1,943*e-j*122,05°=-1,031-j*1,647 А
Для фазы «c»:
Ic=IC=UcZc
Ic=IC=220*ej*150°117,336*ej*44,98°=1,875*ej*105,02°=-0,486+j*1,811 А
Раскроем неопределенность для тока в фазе «a» Ia по первому закону Кирхгофа.
Ia+Ib+Ic=0
Ia=-Ib+Ic
Ic=--1,031-j*1,647-0,486+j*1,811=1,517-j*0,164
Ic=1,517-j*0,164=1,526*e-j*6,16° А
Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов в координатах комплексной плоскости для режима 5 построена на рис