Расчет трехфазной электрической цепи при соединении однофазных приемников треугольником

1.1 Несимметричный режим при соединении треугольником
При соединении отдельных фаз приемника треугольником линейные и фазные напряжения равны:
Uф=UЛ=220 В
Запишем фазные напряжения в комплексной форме:
Для участка «ab» приемника:
Uab=Uф*ej*0°=220*ej*0°=220
Uab=220 В
Для участка «bc» приемника:
Ubc=Uф*e-j*120°
Ubc=220*e-j*120°=220*-0,5-j*0,866=-110-j*190,526
Ubc=220*e-j*120°=-110-j*190,526 В
Для участка «ca» приемника:
Uca=Uф*ej*120°
Uca=220*ej*120°=220*-0,5+j*0,866=-110+j*190,526
Uca=220*ej*120°=-110+j*190,526 В
Комплексные сопротивления отдельных участков приемника:
ω=314,159 радс
Для участка «ab» приемника:
Zab=R3+1j*ω*C
Zab=200+1j*314,159*12*10-6=200-j*265,258=332,207*e-j*52.98°
Zab=200-j*265,258=332,207*e-j*52.98° Ом
Для участка «bc» приемника:
Zbc=R2+RK+j*ω*L
Zbc=110+13+j*314,159*0,264=123+j*82,938=148,355*ej*33,99°
Zbc=123+j*82,938=148,355*ej*33,99° Ом
Для участка «ca» приемника:
Zca=R1
Zca=200 Ом
Фазные токи приемника:
Для участка «ab» приемника:
Iab=UabZab
Iab=220332,207*e-j*52.98°=0,662*ej*52.98°=0,399+j*0,529
Iab=0,662*ej*52.98°=0,399+j*0,529 А
Для участка «bc» приемника:
Ibc=UbcZbc
Ibc=220*e-j*120°148,355*ej*33,99°=1,483*e-j*153,99°=-1,333-j*0,65
Ibc=1,483*e-j*153,99°=-1,333-j*0,65 А
Для участка «ca» приемника:
Ica=UcaZca
Ica=220*ej*120°200=1,1*ej*120°=-0,55+j*0,953
Ica=1,1*ej*120°=-0,55+j*0,953 А
Линейные токи:
Для фазы «a» приемника:
IA=Iab-Ica
IA=0,399+j*0,529--0,55+j*0,953=0,949-j*0,424
IA=0,949-j*0,424=1,039*e-j*24,08° А
Для фазы «b» приемника:
IB=Ibc-Iab
IB=-1,333-j*0,65-0,399+j*0,529=-1,731-j*1,179
IB=-1,731-j*1,179=2,094*e-j*145,74° А
Для фазы «c» приемника:
IC=Ica-Ibc
IC=-0,55+j*0,953--1,333-j*0,65=0,783+j*1,603
IC=0,783+j*1,603=1,784*ej*63,97°
Сумма линейных токов при соединении треугольником равна нулю:
IA+IB+IC=0
0,949-j*0,424-1,731-j*1,179+0,783+j*1,603=0
0,001≈0
Рисунок 2 – Диаграмма напряжений и токов несимметричного режима
Комплексная мощность приемника:
S=Sab+Sbc+Sca
Sab=Uab*I*ab
Sab=220*0,662*e-j*52.98°=145,692*e-j*52.98°
Sab=145,692*e-j*52.98°=87,71-j*116,331 ВА
Sbc=Ubc*I*bc
Sbc=220*e-j*120°*1,483*ej*153,99°=326,256*ej*33,99°
Sbc=326,256*ej*33,99°=270,505+j*182,4 ВА
Sca=Uca*I*ca
Sca=220*ej*120°*1,1*e-j*120°=242*ej*0°=242
Sca=242 ВА
S=87,71-j*116,331+270,505+j*182,4+242=600,215+j*66,069
S=600,215+j*66,069=603,842*ej*6,28° ВА
Активная мощность приемника равна вещественной части комплексной полной мощности:
P=600,215 Вт
Показания ваттметров:
а) По токовой обмотке первого ваттметра W1 протекает ток IA, а к обмотке напряжения его приложено напряжение Uac=-Uca .
S1=-Uca*I*A
-Uca=--110+j*190,526=110-j*190,526=220*e-j*60°
S1=220*e-j*60°*1,039*ej*24,08°=228,58*e-j*35,92°=185,121-j*134,123
S1=228,58*e-j*35,92°=185,121-j*134,123 ВА
Показание первого ваттметра равно вещественной части комплекса S1:
PW1=185,121 Вт
б) По токовой обмотке второго ваттметра W2 протекает ток IB, а к обмотке напряжения его приложено напряжение Ubc.
S2=Ubc*I*B
S2=220*e-j*120°*2,094*ej*145,74°=460,68*ej*25,74°=415,04+j*200,11
S2=460,68*ej*25,74°=415,04+j*200,11 ВА
Показание второго ваттметра равно вещественной части комплекса S2:
PW2=415,04 Вт
Алгебраическая сумма показаний обоих ваттметров равна активной мощности трехфазной цепи:
P=PW1+PW2
513,736=185,121+415,04
600,215 ≈600,161
1.2 Расчет цепи при обрыве участка «ab» приемника
При обрыве участка «ab»:
Zab=∞
Uab=220 В
Iab=UabZab
Iab=220∞=0
Iab=0
Для участка «bc» приемника:
Zbc=123+j*82,938=148,355*ej*33,99° Ом
Ubc=220*e-j*120°=-110-j*190,526 В
Ibc=UbcZbc
Ibc=220*e-j*120°148,355*ej*33,99°=1,483*e-j*153.99°=-1,333-j*0,65
Ibc=1,483*e-j*153.99°=-1,333-j*0,65 А
Для участка «ca» приемника:
Zca=200 Ом
Uca=220*ej*120°=-110+j*190,526 В
Ica=UcaZca
Ica=220*ej*120°200=1,1*ej*120°=-0,55+j*0,953
Ica=1,1*ej*120°=-0,55+j*0,953 А
Линейные токи:
IA=Iab-Ica
IA=0--0,55+j*0,953=0,55-j*0,953=1,1*e-j*60° А
IA=0,55-j*0,953=1,1*e-j*60° А
IB=Ibc-Iab
IB=-1,333-j*0,65-0=-1,333-j*0,65=1,483*e-j*154°
IB=-1,333-j*0,65=1,483*e-j*154° А
IC=Ica-Ibc
IC=-0,55+j*0,953--1,333-j*0,65=0,783+j*1,603=1,784*ej*63,97°
IC=0,783+j*1,603=1,784*ej*63,97° А
Рисунок 3 – Диаграмма напряжений и токов несимметричного режима при обрыве фазы «ab» приемника
Комплексная мощность приемника:
S=Sab+Sbc+Sca
Sab=Uab*I*ab
Sab=220*0=0
Sab=0
Sbc=Ubc*I*bc
Sbc=220*e-j*120°*1,483*ej*153.99°=326,26*ej*33.99°
Sbc=326,26*ej*33.99°=270,505+j*182,4
Sca=Uca*I*ca
Sca=220*ej*120°*1,1*e-j*120°=242*ej*0°=242
Sca=242
S=0+270,505+j*182,4+242=512,505+j*182,4
S=512,505+j*182,4=543,996*ej*19,59° ВА
Активная мощность приемника равна вещественной части комплексной полной мощности:
P=512,505 Вт
Показания ваттметров:
а) По токовой обмотке первого ваттметра W1 протекает ток IA, а к обмотке напряжения его приложено напряжение Uac=-Uca