Расчет стержня на прочность и жесткость при кручении

Для определения внутренних крутящих моментов MAB и MBC на участках АВ и ВС стержня используем метод сечений. Для этого мысленно рассечем стержень примерно посередине участков AB и BC сечениями 1 – 1 и 2 – 2, как показано на рисунке
Определим величину момента в заделке Мз из условия статического равновесия
Mx=0;M3-M1-M2=0;
M3=M1+M2=80 Нм
Построим эпюру крутящих моментов c применением метода сечений, для этого рассмотрим два сечения
Сечение 1 – 1
Mx=0; M3+Mк1=0;
Mк1=-M3=-80 Нм
Сечение 2 – 2
Mx=0; M3-M1+Mк2=0;
Mк2=-M3+M1=40 Нм
Строим эпюру крутящих моментов
Подбор диаметров поперечных сечений на участках АВ и ВС осуществим
исходя из условия прочности
τмах≤[τ]
τмах=MмахWρ,
где τmax и Mmax максимальное касательное напряжение и максимальный внутренний крутящий момент на рассматриваемом участке стержня;
Wρ-полярный момент сопротивления сечения
[τ] - предельно допустимое касательное напряжение.
Участок АВ
Wρ=π∙d316
Mмах=80 Нм
τ=30 МПа
d=316∙Mмахπ∙[τ]=316∙803,14∙30∙106=23,9∙10-3м=23,9 мм
Участок BC
Wρ=π∙d316·(1-c4)
Mмах=40 Нм
τ=30 Мпа
d=316∙Mмахπ∙[τ]·(1-c4)=316∙403,14∙30∙106·(1-0,64)=19,9∙10-3м=19,9 мм
Условие жесткости при кручении
ϴмах≤[ϴ]
ϴмах=MмахG·Jρ,
Jρ- полярный момент инерции поперечного сечения вала
ϴ- допускаемый относительный угол закручивания
G-модуль поперечной упругости материала вала
Участок АВ
Jρ=π∙d432
d=432∙Mмахπ·G∙[ϴ]=432∙803,14∙8∙1010·3,14·0,6180=31,4∙10-3м=31,4 мм
Участок BC
Jρ=π∙d432(1-c4)
d4=32∙Mмахπ∙[ϴ]·G·(1-с4),
d=432∙Mмахπ·G∙[ϴ]·(1-c4)=432∙403,14∙8∙1010·3,14·0,6180(1-0,64)==27,3∙10-3м=27,3мм
За единый размер для обоих участков примем наибольший из четырех рас-
считанных выше
d=31,4 мм
JρAB=π∙d432=3,14∙31,4 432=95389 мм4
JρBC=π∙d4321-с4=3,14∙31,4 4321-0,64=83027 мм4
абсолютный угол поворота определяется на основе соотношения
φi=Mi∙liG∙Jρi
φAB=-80·0,28∙1010∙95389·10-12 =-0,0021 рад
φBC=40·0,28∙1010∙83027·10-12 =0,0012 рад
Определим абсолютный угол С закручивания свободного конца стержня:
φC=φAB+φBC=-0,0009 рад