Расчет статически неопределимых рам методом сил

Кинематический анализ.
Определим число степеней свободы:
W = 3 * Д – 2 * Ш - С – С0,
где Д – число дисков, Д = 1;
Ш – число простых шарниров, Ш = 0
С – число стержней, соединяющие диски, С = 0;
С0 – число опорных стержней, соединяющих систему с диском «земля», С0 = 4.
W = 3 * 1 – 2 * 0 – 0 - 4 = - 1 < 0.
Необходимое условие статической неизменяемости соблюдается.
Рис.2 Расчетная схема основной системы рамы
Диск А присоединен к диску «земля» четырьмя опорным стержнем, отсюда следует что система геометрически неизменяема.
Достаточные условия выполняются.
Система геометрически неизменяема и статически неопределима. Степень статической неопределимости n = - W = 1.
Система канонических уравнений будет содержать одно уравнение.
δ11 * Х1 + Δ1F = 0.
2. Построим основную систему (рис.2) согласно исходных данных. В заделке возникают реакции RА, НА и изгибающий момент МА.
Для определения горизонтальной реакции в заделке А приравниваем сумму проекций всех сил на ось X к нулю.
Σ Х = 0; НA + Р – q * 3 = 0; HA = - P + q * 3 = - 12 + 6 * 3 = 6кН.
Для определения вертикальной реакции в заделке А приравниваем сумму проекций всех сил на ось Y к нулю.
Σ Y = 0; RA = 0.
Для определения изгибающего момента в заделке А приравниваем сумму моментов всех сил относительно точки А к нулю.
Σ МА = 0; - МА + Р * 6 - М – q * 3 * 1,5= 0;
MА = P * 6 - M - q * 3 * 1,5= 12 * 6 - 12 - 6 * 3 * 1,5 = 33кН*м.
Проверка: Σ MC = 0; - МА - HA*6 - М + q*3*4,5= - 33 - 6*6 - 12 + 6*3*4,5 = 0.
Рис.3 Эпюра изгибающих моментов основной системы рамы
Построим эпюры изгибающих моментов (рис.3).
Участок 1 – 1 ( 0 ≤ х ≤ 2м):
при х = 0, М1 = MA = 33кН*м;
при х = 2м, М2 = MA = 33кН*м.
Участок 2 – 2 ( 0 ≤ х ≤ 3м):
при х = 0, М1 = MA + HA * x - q * x2 / 2 = 33кН*м;
при х = 3м, М2 = MA + HA * x - q * x2 / 2 = 33 + 6 * 3 – 6 * 32 / 2 = 24 кН*м.
Рис.4 Расчетная схема рамы от единичной силы Х

Определение экстремума:
dM/dx = 0; HA - q * x = 0; x = HA / q = 6 / 6 = 1м;
при х = 1м, М2 = MA + HA * x - q * x2 / 2 = 33 + 6 * 1 – 6 * 12 / 2 = 36 кН*м.
Участок 3 – 3 ( 0 ≤ х ≤ 1м):
при х = 0, М1 = 0;
при х = 1м, М2 = 0.
Участок 4 – 4 ( 1м ≤ х ≤ 2м):
при х = 1м, М1 = - M = - 12кН*м;
при х = 2м, М2 = - M = - 12кН*м.
Участок 5 – 5 ( 0 ≤ х ≤ 3м):
при х = 0, М1 = Р * x = 0;
при х = 3м, М2 = Р * x = 12 * 3 = 36 кН*м.
Рис.5 Эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки.
3 . Рассмотрим балку нагруженную единичной нагрузкой Х (рис.4).
Определим реакции и момент в опорах балки.
Σ Х = 0; НA = 0. Σ Y = 0; - RA + X = 0; RA = X = 1.
Σ MA = 0 – MA + X * 4 = 0; MA = X * 4 = 4.
Построим эпюры изгибающих моментов (рис.5).
Участок 1 – 1 ( 0 ≤ х ≤ 2м):
при х = 0, М1 = MA – RA * x = 4;
при х = 2м, М2 = MA – RА * х = 4 – 1 * 2 = 2.
Участок 2 – 2 ( 0 ≤ х ≤ 3м):
при х = 0, М1 = МA - RА * 2 = 4 – 1 * 2 = 2;
при х = 3м, М2 = МA - RА * 2 = 4 – 1 * 2 = 2.
Участок 3 – 3 ( 0 ≤ х ≤ 2м):
при х = 0, М1 = X * x = 0;
при х = 2м, М2 = X * x = 1 * 2 = 2.
4. Перемножаем эпюры.
δ11 = (2*2*(4 – 1*1) + 1/2*2*2* (4 – 1*1/3*2 ) + 2*3*2 + ½*2*2*2/3*2*1) / EJ = 33,33/EJ;
Δ1F=(33*2*3 + 2/3*6,75*3*2 + ½*24*3*2 + ½*33*3*2 – 12*1*1,5) / EJ = - 378/EJ.
Подставляем коэффициенты в каноническое уравнение и сокращаем на ЕJ.
33,33 * Х + 378 = 0.
Х = - 11,34кН.
5. Подставим полученное усилие в статически неопределимую раму, определим реакции в заделке (рис.6).
Рис.6 Расчетная схема статически неопределимой балки
Для определения горизонтальной реакции в заделке А приравниваем сумму проекций всех сил на ось X к нулю