Расчет рекурсивного цифрового фильтра нижних частот

Расчёт выполним согласно [1] .
Рассчитаем передаточную характеристику цифрового фильтра Баттерворта.
Частота среза аналогового фильтра:
рад/c (1)
Частота заграждения аналогового фильтра:
рад/c (2)
Неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления:
(3)
(4)
Порядок фильтра:
(5)
Округляем до большего целого и получаем порядок фильтра N = 5.
Тогда, остальные параметры:



Передаточная характеристика нормированного, с частотой среза 1 рад/сек., ФНЧ Баттерворта 5 порядка, согласно[1,(2)] запишется как:
После подстановки числовых значений, и раскрытия скобок:
(6)
Для получения передаточной функции H(s) с заданной частотой среза необходимо осуществить замену переменной в формуле (6):
(7)
Билинейное преобразование для получения цифрового фильтра, при Т = 2 осуществляется подстановкой в (7):
и тогда передаточная характеристика H(z) равна:
Раскроем скобки, приведем подобные члены, выполним нормировку коэффициентов к свободному члену знаменателя a0, получим передаточную функцию цифрового фильтра:
(8)
Коэффициенты фильтра, приведены в табл . 1.
Таблица №1 Коэффициенты фильтра
b0=0,006945 a0=1
b1=0,03472 a1= ‒1,97468
b2=0,06945 a2=2,01176
b3=0,06945 a3= ‒1,1014
b4=0,03472 a4= 0,3272
b5=0,006945 a5= ‒0,04065
Разностное уравнение рассчитанного фильтра:
(9)
Построим АЧХ рассчитанного фильтра.
Для этого сделаем подстановку в (8), и по формуле:

построим график АЧХ фильтра