Расчет разветвленной цепи синусоидального тока

Дано:
U=380 B, r1=7 Ом, C1=500 мкФ, r2=16 Ом, L2=26 мГн, C3=300 мкФ, f=50Гц
Рис.2.1. Разветвленная цепь синусоидального тока
1.Находим комплексные сопротивления элементов ветвей:
-jXC1=-j1ωC1=-j12π·50·500·10-6=-j6,369=6,369e-j90° Ом
jXL2=jωL2=j2π·50·26·10-3=j8,164=8,164ej90° Ом
-jXC3=-j1ωC3=-j12π·50·300·10-6=-j10,616=10,616e-j90° Ом
где ω=2πf=2·3,14·50=314 рад/с
Комплексные сопротивления ветвей:
Z1=r1-jXC1=7-j6,369=9,464e-j42,30° Ом
Z2=r2+jXL2=16+j8,164=17,962ej27,03° Ом
Z3=-jXC3=-j10,616=10,616e-j90° Ом
Найдем комплекс полного сопротивления параллельного участка цепи (рис.2.2):
Рис.2.2. Расчетная схема
Комплекс полного сопротивления параллельного участка цепи
Zab=Z2·Z3Z2+Z3=17,962ej27,03°·10,616e-j90°16+j8,164-j10,616=190,685e-j62,97°16,187e-j8,71°=11,78e-j54,26°=6,881 - j9,562 Ом
Комплекс полного сопротивления цепи:
Z=Z1+Zab=7-j6,369+6,881 - j9,562=13,881 - j15,931=21,130e-j48,93° Ом
Приняв U=U, найдем токи и напряжения отдельных участков:
I1=UZ=38021,130e-j48,93°=17,984ej48,93°=11,815 + j13,558 A
U1=I1·Z1=17,984ej48,93°·9,464e-j42,30°=170,201ej6,63°=169,063 + j19,651 B
Напряжение параллельного участка цепи
Uab=I1∙Zab=17,984ej48,93°·11,78e-j54,26°=211,852e-j5,33°=210,936 - j19,679 B
I2=UabZ2=211,852e-j5,33°17,962ej27,03°=11,794e-j32,36°=9,962 - j6,313 A
I3=UabZ3=211,852e-j5,33°10,616e-j90°=19,956ej84,67°=1,854 + j19,87 A
2.По полученным комплексным значениям токов ветвей запишем выражения для их мгновенных значений:
В общем виде i=I∙2∙sinωt+φi . Тогда будем иметь:
Мгновенное значение I1 i1=17,9842sinωt+48,93°=25,433sin314t+48,93° A
Мгновенное значение I2 i2=11,7942sinωt-32,36°=16,679sin314t-32,36° A
Мгновенное значение I3 i3=19,9562sinωt+84,67°=28,222sin314t+84,67° A
3.Комплекс полной мощности источника
S=U·I1*,
где I1*=17,984e-j48,93°=11,815- j13,558 - комплексно-сопряженный ток источника
S=380·(11,815- j13,558)=4489,7 - j5152,04 BA
Соответственно, P=4489,7 Вт; Q=-5152,04 вар
Комплексы мощностей участков:
S1=U1·I1*=170,201ej6,63°·17,984e-j48,93°=3060,895e-j42,30°=2263,933 - j2060,021 BA
Соответственно,
P1=2263,933 Вт; Q1=-2060,021 BAp
S2=Uab·I2*=211,852e-j5,33°·11,794ej32,36°=2498,582ej27,03°=2225,659 + j1135,498 BA
Соответственно,
P2=2225,659 Вт; Q2=1135,498 BAp
S3=Uab·I3*=211,852e-j5,33°·19,956e-j84,67°=4227,719e-j90°=0-j4227,719 BA
Соответственно,
P3=0 Вт; Q3=-4227,719 BAp
4.Баланс мощностей
Суммарная активная мощность ветвей (приемников):
Pпр=P1+P2+P3=2263,933 +2225,659+0=4489,598 Вт
Суммарная реактивная мощность ветвей (приемников):
Qпр=Q1+Q2+Q3=-2060,021+1135,498-4227,719=-5152,242 вар
Погрешность расчета активной мощности
δaкт=P-PпрP·100%=4489,7 -4489,5984489,7·100%=0,002 %
Погрешность расчета реактивной мощности
δр=Q-QпрQ·100%=5152,04-5152,2425152,04·100%=0,004 %
Для построения топографической диаграммы вычислим напряжения на всех элементах цепи
Ur1=I1·r1=17,984ej48,93°·7=125,888ej48,93°=82,706 + j94,908 B
UC1=I1·(-jXC1)=17,984ej48,93°·6,369e-j90°=114,54e-j41,07°=86,353 - j75,251 B
Ur2=I2·r2=11,794e-j32,36°·16=188,704e-j32,36°=159,399 - j101,001 B
UL2=I2·jXL2=11,794e-j32,36°·8,164ej90°=96,286ej57,64°=51,536 + j81,333 B
UC3=I3·-jXC3=19,956ej84,67°·10,616e-j90°=211,853e-j5,33°=210,937 - j19,679 B
Определяем потенциалы точек, обозначенных на схеме