Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Составить систему уравнений для определения токов в ветвях методом законов Кирхгофа.
Расставим направление токов в ветвях заданной схемы и выберем направления обхода контура.
В схеме количество узлов nу=4 a, b, c, d и число ветвей nв=6. Значит по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить nI=nу-1=4-1=3 уравнения, для любых трех узлов составляем уравнения (втекающие в узел токи возьмем со знаком «-», вытекающие со знаком «+»):
a:-I2+I4+I5=0
b: I1+I2-I6=0
c: -I3-I4+I6=0
По 2-му закону Кирхгофа составим nII=nв-nI=6-3=3 уравнения:
1к: I1R1+I2R2+I5R5=-E1+E2
2к: -I1R1+I3R3+I6R6=E1
3к: -I3R3+I4R4-I5R5=0
2. Преобразовать схему до двух контуров. Рассчитать токи во всех ветвях схемы: методом контурных токов; методом межузлового напряжения.
Сопротивления R3, R4, R5 соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
R34=R3∙R4R3+R4+R5=1∙41+4+5=0,4 Ом
R35=R3∙R5R3+R4+R5=1∙51+4+5=0,5 Ом
R45=R4∙R5R3+R4+R5=4∙51+4+5=2 Ом
Сопротивления R6 и R34 соединены последовательно, их эквивалентное сопротивление:
R346=R6+R34=8+0,4=8,4 Ом
Сопротивления R1 и R35 соединены последовательно, их эквивалентное сопротивление:
R135=R1+R35=5+0,5=5,5 Ом
Сопротивления R2 и R45 соединены последовательно, их эквивалентное сопротивление:
R245=R2+R45=4+2=6 Ом
Метод контурных токов:
Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22 . Выберем направления контурных токов. Составим систему уравнений по методу контурных токов в общем виде:
I11R11-I22R12=E11-I11R21+I22R22=E22
Определяем суммарные сопротивления контуров:
R11=R346+R135=8,4+5,5=13,9 Ом
R22=R135+R245=5,5+6=11,5 Ом
Определяем взаимные сопротивления контуров:
R12=R21=R135=5,5 Ом
Определяем алгебраические суммы ЭДС контуров:
E11=E1=10 В
E22=-E1+E2=-10+30=20 В
Подставим найденные значения в систему уравнений
13,9I11-5,5I22=10-5,5I11+11,5I22=20
Решаем систему:
I22=13,9I11-105,5
-5,5I11+11,513,9I11-105,5=20
откуда
I11=1,736 А
I22=2,569 А
Определим токи в ветвях через найденные контурные токи:
I1=I22-I11=2,569-1,736=0,833 А
I2=I22=2,569 А
I6=I11=1,736 А
Токи в исходной схеме определим из уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
I1R1+I2R2+I5R5=-E1+E2, откуда
I5=-E1+E2-I1R1-I2R2R5=-10+30-0,833∙5-2,569∙45=1,111 А
-I2+I4+I5=0, откуда
I4=I2-I5=2,569-1,111=1,458 А
-I3-I4+I6=0, откуда
I3=I6-I4=1,736-1,458=0,278 А
Метод межузлового напряжения:
Принимаем потенциал узла b равным нулю: φb=0. Так как в схеме два узла, а потенциал одного из них принят равным нулю, то записывая узловое уравнение по методу узловых потенциалов, находим узловое напряжение, которое может быть записано сразу одной формулой:
Ueb=φe-φb=JΣg=±E1R±J1R
Согласно методу межузлового напряжения, определим напряжение Ueb:
Ueb=E1R135+E2R2451R135+1R245+1R346=105,5+30615,5+16+18,4=14,583 В
Токи ветвей определим по обобщенному закону Ома:
I1=-E1+UebR135=-10+14,5835,5=0,833 А
I2=E2-UebR245=30-14,5836=2,569 А
I6=UebR346=14,5838,4=1,736 А
Токи в исходной схеме определим из уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
I1R1+I2R2+I5R5=-E1+E2, откуда
I5=-E1+E2-I1R1-I2R2R5=-10+30-0,833∙5-2,569∙45=1,111 А
-I2+I4+I5=0, откуда
I4=I2-I5=2,569-1,111=1,458 А
-I3-I4+I6=0, откуда
I3=I6-I4=1,736-1,458=0,278 А
3