Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Задаёмся произвольными расчётными токами в ветвях схемы (см рис.1). Обозначаем узлы схемы цифрами 1, 2, 3, 4.
Рассчитаем все токи в схеме методом контурных токов, основанный на предположении, что в каждом независимом контуре исследуемой цепи, протекает некоторый контурный ток. Токи в ветвях легко выражаются через контурные токи. Таким образом, задача определения токов в ветвях сводится к отысканию контурных токов (см рис.1). Число неизвестных в данном методе равно числу независимых контуров, или числу уравнений, которые необходимо составить только по II закону Кирхгофа.
Рисунок 1 – Исходная схема цепи
Задаёмся условно положительными направлениями токов в ветвях, независимыми контурами и направлением обхода этих контуров (см рис.1) по часовой стрелке.
На основании II закона Кирхгофа, для контурных токов, составляем систему уравнений:
I11R11+I22R12+I33R13 = E11
I11R21+I22R22+I33R23 = E22
I11R31+I22R32+I33R33 = E33
Определяем собственные сопротивления контуров и межконтурные сопротивления:
R11=R2+R4+R6=9+2+3=14 Ом;
R22=R1+R2+R5=8+9+1=18 Ом;
R33=R3+R5+R6=10+1+3=14 Ом;
R12=R21= –R2= –9 Ом;
R13=R31= –R6= –3Ом;
R23=R32= –R5= –1 Ом.
Подставляем числовые данные и получаем систему уравнений:
14I11– 9I22– 3I33 = Е2 =15
–9I11+18I22–1I33=Е1– Е2=10–15= –5
–3I11–1I22+14I33 = Е3= 19
При получении системы уравнений, все контурные токи и э.д.с, совпадающие с направлением обхода, принимаются со знаком плюс, не совпадающие – со знаком минус.
Определяем контурные токи с помощью он-лайн калькулятора по методу Крамера:
I11= 1,99А,
I22= 0,82А,
I33= 1,84А.
Значения токов в ветвях определяем по найденным числовым значениям контурных токов. Для этого необходимо рассмотреть каждую ветвь цепи в отдельности:
I1=I22=0,82А;
I2= I11 – I22=1,99 – 0,82=1,17А;
I3=I33=1,84А;
I4= I11=1,99А;
I5= I33–I22= 1,84–0,82=1,02А;
I6= I11–I33= 1,99–1,84=0,15А.
Составим уравнение баланса мощностей.
Уравнение баланса мощностей является проверочным при анализе электрических цепей. Это возможно в виду того что, на основании закона сохранения энергии – количество потребляемой в цепи энергии равно количеству энергии, генерируемой источниками. Следовательно, уравнение баланса мощностей имеет следующий вид.
РИСТ.=РПОТР.
где: РИСТ.– суммарная мощность всех источников энергии в цепи, Вт;
РПОТР.– суммарная мощность всех потребителей энергии в цепи, Вт.
Получаем:
РИСТ.= Е1I1+ Е2I2+ Е3I3= 10*0,82+15*1,17+19*1,84=8,2+17,55+34,96=60,71Вт;
РПОТР, = I12R1+ I22R2+ I32R3+ I42R4+ I52R5+ I62R6=0,822*8+1,172*9+1,842*10+ +1,992*2+1,022*1+0,152*3=5,38+12,32+33,86+7,92+0,07=59,55Вт.
РИСТ.= 60,71Вт≈ РПОТР, =59,55Вт.
Погрешность не должна превышать предельно допустимую (5%). Баланс сошёлся, значить токи, найдены, верно.
Определим ток в I3 (в ветви cd) методом эквивалентного генератора. Для этого уберём из схемы (рис.1) ветвь с резистором R3 (см рис.2).
Вычертим схему холостого хода, приняв сопротивление в заданной ветви равное бесконечности (рис.2). Укажем стрелкой в месте обрыва условно положительное направление напряжения холостого хода (совпадает с условно положительным направлением заданного тока).
Определим напряжение холостого хода U31х.х . используя метод контурных токов. Получаем токи холостого хода:
На основании II закона Кирхгофа, для контурных токов, составляем систему уравнений:
I11R11+I22R12= E11
I11R21+I22R22= E22

Рисунок 2 – Схема без ветви R2
Определяем собственные сопротивления контуров и межконтурные сопротивления:
R11=R2+R4+R6=9+2+3=14 Ом;
R22=R1+R2+R5=8+9+1=18 Ом;
R12=R21= –R2= –9 Ом;
Подставляем числовые данные и получаем систему уравнений:
14I11х.х.– 9I22х.х.= Е2 =15
–9I11х.х.+18I22х.х.=Е1– Е2=10–15= –5
При получении системы уравнений, все контурные токи и э.д.с, совпадающие с направлением обхода, принимаются со знаком плюс, не совпадающие – со знаком минус.
Определяем контурные токи с помощью он-лайн калькулятора по методу Крамера:
I11х.х.= 1,32А,
I22х.х.= 0,38А.

Используя второй закон Кирхгофа получаем искомое напряжение холостого хода:
U3.1.х.х.= I22х.х*R5.+ I1х.х.*R6=0,38*1+1,32*3=4,32В.
Вычертим схему короткого замыкания (рис.3). Для этого необходимо в схеме (рис.2) закоротить все источники ЭДС.
Рисунок 3 – Определение входного сопротивления полученной цепи
Определим входное (эквивалентное) сопротивление полученной цепи (рис.3) относительно точек (3 и 1), т.е. точек обрыва. Поскольку, в полученной схеме двухполюсника источники э.д.с. отсутствуют, отсутствуют и токи в ветвях. Заменяем сопротивления, соединенные последовательно либо параллельно, эквивалентными, также после преобразования «звезды» в «треугольник» получаем упрощённую схему (см рис.4).
Рисунок 4 – Упрощённая схема определения сопротивления Rвх.cd
R14=R1+R4+R1*R4/ R2=8+2+8*2/9=11,78 Ом;
R12=R1+R2+R1*R2/ R4=8+9+8*9/2=53 Ом;
R24=R2+R4+R2*R4/ R1=9+2+9*2/8=13,25 Ом.
После свёртывания схемы изображённой на рис.4 получаем:
R246=R24*R6/(R24+R6)=13,25*3/(13,25+3)=4,55 Ом;
R125=R12*R5/(R12+R5)=53*1/(53+1)=0,98 Ом;
R125 146=R125+R146=0,98+4,55=5,53 Ом;
Rвх=R125 146*R14/(R125 146+R14)=5,53*11,78/(5,53+11,78)=2,656 Ом;
По закону Ома для полного участка цепи получаем:
I3=(Е+U31х.х)./(Rвх+R3)= (19+4,32)/(2,656+10)= 1,84А.
Найденный ток полностью совпадает с найденным током в этой же ветви другим методом.
Составим систему уравнений для расчета токов во всех ветвях методом уравнений Кирхгофа (см рис.1).
Определяем числом уравнений в составляемой системе уравнений (равно числу неизвестных токов n=6 в расчетной схеме).
Определяем числом узлов m=4 в расчетной схеме.
Для произвольных узлов составляем уравнения на основании I закона Кирхгофа. Число их в общем случае на единицу меньше числа узлов (m –1= 4–1=3шт):
I1 – I3+I5= 0для узла 1
I2 – I5 – I6=0для узла 2
I3 – I4+ I6=0для узла 3
На основании II закона Кирхгофа составляем недостающее в системе число уравнений n–(m–1)=6–(4–1)=3. Контуры, для которых составляются уравнения, нужно выбрать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну ветвь, не вошедшую в другие контуры (такие контуры называются независимыми). Только при этом условии уравнения, составленные по II закону Кирхгофа, будут независимыми друг от друга. Таким образом, по II закону Кирхгофа, составляется число уравнений, равное числу независимых контуров