Расчет разветвленной цепи постоянного тока с несколькими источниками электрической энергии

В рассматриваемой схеме (рис. 7) четыре узла (y=4) и шесть ветвей с неизвестными токами (b=6). Для определения шести неизвестных необходимо составить по законам Кирхгофа систему из шести уравнений.
По первому закону Кирхгофа следует составить y-1=3 уравнения. По второму закону Кирхгофа следует составить b-(y-1)=3 уравнения для трех независимых контуров. Зададимся направлениями токов, обозначим узлы, определим независимые контуры и направления обхода. Запишем уравнения по законам Кирхгофа:
I1+I3-I4=01I2-I3-I5=02-I1+I5-I6=03-I1r1+I3r3-I5r5=-E1II1r1+I4r4-I6r6=E1III2r2+I5r5+I6r6=E2III
Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями контурных токов (I11, I22, I33) в независимых контурах схемы (рис . 8).
Рис. 8
Для определения трех неизвестных контурных токов необходимо составить по второму закону Кирхгофа систему из трех уравнений:
I11r1+r3+r5-I22r1-I33r5=-E1-I11r1+I22r1+r4+r6-I33r6=E1-I11r5-I22r6+I33r2+r5+r6=E2
Подставляем в полученную систему значения ЭДС и сопротивлений:
I111+24+12-1I22-12I33=-90-1I11+I221+20+18-18I33=90-12I11-18I22+I336+12+18=170
37I11-I22-12I33=-90-I11+39I22-18I33=90-12I11-18I22+36I33=170
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера. Вычисляем главный определитель системы:
Δ=37-1-12-139-18-12-1836=37∙39∙36-1∙-18∙-12-12∙-1∙-18--12∙39∙-12-37∙-18∙-18--1∙-1∙36=33876
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=-90-1-129039-18170-1836=-90∙39∙36+90∙-18∙-12+170∙-1∙-18-170∙39∙-12--90∙-18∙-18-90∙-1∙36=8100
Δ2=37-90-12-190-18-1217036=37∙90∙36-1∙170∙-12-12∙-90∙-18--12∙90∙-12-37∙170∙-18--1∙-90∙36=199500
Δ3=37-1-90-13990-12-18170=37∙39∙170-1∙-18∙-90-12∙-1∙90--12∙39∙-90-37∙-18∙90--1∙-1∙170=262420
По формулам Крамера определяем контурные токи:
I11=Δ1Δ=810033876=0,239 А
I22=Δ2Δ=19950033876=5,889 А
I33=Δ3Δ=26242033876=7,746 А
Определим токи в ветвях цепи:
I1=-I11+I22=-0,239+5,889=5,65 А
I2=I33=7,746 А
I3=I11=0,239 А
I4=I22=5,889 А
I5=-I11+I33=-0,239+7,746=7,507 А
I6=-I22+I33=-5,889+7,746=1,857 А
Источники ЭДС E1 и E2 действуют в одном направлении с токами в соответствующих ветвях (I1 и I2), следовательно, оба источника работают в генераторном режиме.
Определяем суммарную мощность источников энергии:
ΣPист=E1I1+E2I2=90∙5,65+170∙7,746=1825,404 Вт
Определяем суммарную мощность потребителей энергии:
ΣPпотр=I12r1+I22r2+I32r3+I42r4+I52r5+I62r6=5,652∙1+7,7462∙6+0,2392∙24+5,8892∙20+7,5072∙12+1,8572∙18=1825,404 Вт
Составляем баланс мощностей:
ΣPист=ΣPпотр
1825,404 Вт=1825,404 Вт
Баланс мощностей выполняется.