Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Составим систему уравнений для определения токов в ветвях методом законов Кирхгофа, для этого произвольно обозначим направления токов в ветвях схемы и пронумеруем контура (Рис 1-2)
Рис 1-2
I2-I4+I5=0 Первый закон для узла аI1+I2+I6-I7=0 Первый закон для узла bI3+I5-I6=0 Первый закон для узла dI1R1=E1+E2 Второй закон для контура 1I3R3+I6R6=E2 Второй закон для контура 2I2R2-I5R5-I6R6=0 Второй закон для контура 3I3R3-I4R4-I5R5=0 Второй закон для контура 4
Подставив числовые значения в полученную систему линейных уравнений, можно определить величину токов в ветвях схемы
Преобразуем схему до двух контуров (Рис 1-3), для этого заменим соединение резисторов R3, R4, R5, которые соединены треугольником, на соединение звездой
Рис 1-3
Определим численные значения резисторов
Ra=R4*R5R3+R4+R5=4*610+4+6=1,2 Ом
Rc=R3*R4R3+R4+R5=10*410+4+6=2 Ом
Rd=R3*R5R3+R4+R5=10*610+4+6=3 Ом
В результате получим схему (Рис 1-4) . Источник ЭДС Е1 исключён из схемы по причине того, что он не оказывает влияния на величину токов в оставшейся схеме, он уменьшает величину тока, проходящего через Е2
Рис 1-4
Рассчитаем токи во всех ветвях схемы методом контурных токов, для этого в полученной схеме обозначим направления токов, направления обхода контуров и составим систему линейных уравнений
R6+Rc+RdI11-R6+RdI22=E2-R6+RdI11+R2+R6+Ra+RdI22=0
Подставим числовые значения
3+2+3I11-3+3I22=10-3+3I11+4+3+1,2+3I22=0
Выполним арифметические действия
8I11-6I22=10-6I11+11,2I22=0
Решим полученную систему линейных уравнений при помощи метода Крамера
∆=8-6-611,2=53,6
∆1=10-6011,2=112
∆2=810-60=60
I11=∆1∆=11253,6=2,090 A
I22=∆2∆=6053,6=1,119 A
Величина токов во внешних ветвях равна контурным токам, ток во внутренней ветви определим по первому закону Кирхгофа
I1=I11=2,090 A
I2=I22=1,119 A
I3=I11-I22=2,090-1,119=0,971 A
Обозначим узлы схемы и произвольно обозначим направление токов в ветвях схемы (Рис 1-5)
Рис 1-5
Произведём расчёт токов в ветвях методом узловых уравнений, определим проводимость ветвей
G1=1Rc=12 См
G2=1R2+Ra=14+1,2=1052 См
G3=1R6+Rd=13+3=16 См
Примем потенциал точки «d» за ноль и определим потенциал точки «b»
φb=G1E2G1+G2+G3=12*1012+1052+16=5,821 B
По закону Ома определим токи в ветвях схемы
I1=E2-φbRc=10-5,8212=2,090 A
I2=φbR2+Ra=5,8214+1,2=1,119 A
I3=φbR6+Rd=5,8213+3=0,970 A
Проверим решение, используя баланс мощностей.
Мощность нагрузки
PR=I12Rc+I22R2+Ra+I32R6+Rd=
=2,0902*2+1,1192*(4+1,2)+0,9702*(3+3)=20,893 Bm
Мощность источников
PE=I1E2=2,090*10=20,90 Bm
Вывод: баланс мощностей соблюдается, значит решение правильное (Незначительные расхождения обусловлены погрешностями при округлениях).