Расчет переходных процессов в разветвленной линейной цепи второго порядка

При использовании классического метода по законам Ома и Кирхгофа составляются уравнения электромагнитного состояния цепи для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями:
резистор (идеальное активное сопротивление):
uR=R*iR
катушка индуктивности (идеальная индуктивность):
uL=L*diLdt
конденсатор (идеальная емкость):
uC=1C*iCdt
В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:
1. Запись выражения для искомой переменной в виде:
xt=xуст+xсв
2. Нахождение установившейся составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима после коммутации в цепи.
3. Составление характеристического уравнения и определение его корней. Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.
Подстановка полученных выражений установившейся и свободной составляющих в уравнение.
Определение начальных условий и на их основе – постоянных интегрирования.
1. Нахождение независимых начальных условий из расчета установившегося режима до коммутации t=0- (рис. 2 – ключ замкнут)
Рисунок 2 – Схема для расчета цепи до коммутации при установившемся режиме
Рассчитаем реактивные сопротивление элементов цепи.
Индуктивное сопротивление:
ω=2*π*f=2*3,141*50=314,159 радс
ZL=j* ω*L=j* 314,159 *25*10-3=j*7,854=7,854*ej*90°
ZL=j*7,854=7,854*ej*90° Ом
Емкостное сопротивление:
ZC=1j* ω*C=1j* 314,159 *300*10-6=-j*10,61=10,61*e-j*90°
ZC=-j*10,61=10,61*e-j*90° Ом
Комплексное сопротивление первой ветви:
Z1=ZC=-j*10,61=10,61*e-j*90°
Z1=-j*10,61=10,61*e-j*90° Ом
Комплексное сопротивление второй ветви:
Z2=R1=10
Z2=10 Ом
Комплексное сопротивление третьей ветви:
Z3=R2+ZL=10+j*7,854=12,716*ej*38,1°
Z3=10+j*7,854=12,716*ej*38,1° Ом
Комплексное сопротивление параллельного участка цепи:
Z23=Z2*Z3Z2+Z3=10*10+j*7,85410+10+j*7,854=5,668+j*1,701=5,918*ej*16,7°
Z23=5,668+j*1,701=5,918*ej*16,7° Ом
Комплексное сопротивление всей цепи до коммутации:
Z0-=Z1+Z23=-j*10,61+5,668+j*1,701=5,668-j*8,909
Z0-=5,668-j*8,909=10,559*e-j*57,5° Ом
Приложенное напряжение в комплексной форме:
Em=Em*ej*ψe=100*ej*100° =-17,365+j*98,481
Em=-17,365+j*98,481=100*ej*100° В
Комплексная амплитуда тока в неразветвленной ветви:
I1m=EmZ0-=100*ej*100°10,559*e-j*57,5°=9,471*ej*157,5°=-8,752+j*3,619
I1m=-8,752+j*3,619=9,471*ej*157,5° А
Напряжение на параллельном участке:
U23m=I1m*Z23=9,471*ej*157,5°*5,918*ej*16,7°=56,045*ej*174,2°
U23m=-55,762+j*5,624=56,045*ej*174,2° В
Токи в параллельных ветвях:
I2m=U23mZ2=56,045*ej*174,2°10=5,605*ej*174,2°=-5,576+j*0,562
I2m=-5,576+j*0,562=5,605*ej*174,2° А
I3m=U23mZ3=56,045*ej*174,2°12,716*ej*38,1°=4,408*ej*136,1°=-3,176+j*3,057
I3m=-3,176+j*3,057=4,408*ej*136,1° А
Комплексная амплитуда напряжения на емкости:
UCm=I1m*ZC=9,471*ej*157,5°*10,61*e-j*90°=100,486*ej*67,5°
UCm=38,398+j*92,859=100,486*ej*67,5° В
Записываем независимые начальные условия переходного процесса:
комплексная амплитуда токов в катушке индуктивности и напряжения на емкости:
I3m=-3,176+j*3,057=4,408*ej*136,1° А
UCm=38,398+j*92,859=100,486*ej*67,5° В
Мгновенное значение тока в катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе до коммутации:
i30-t=4,408*sin 314,159*t+136,1° А
uC0-t=100,486*sin 314,159*t+67,5°В
Значение тока в катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в момент t=0:
i30-=4,408*sin 314,159*0+136,1°=4,408*sin 136,1°=3,057
i30-=3,057 А
uC0-=100,486*sin 314,159*0+67,5°=100,486*sin 67,5°=92,837
uC0-=92,837 В
2 . Расчет схемы цепи после коммутации в установившемся режиме (рис. 3 – ключ разомкнут) t=∞
Рисунок 3 – Схема для расчета цепи после коммутации при установившемся режиме
Комплексное сопротивление всей цепи после коммутации:
Z0+=Z1+Z3=-j*10,61+10+j*7,854=10-j*2,756
Z0+=10-j*2,756=10,373*e-j*15,4°
Комплексные амплитуды токов в установившемся режиме:
I2m уст=0
I1m уст=I3m уст=EmZ0+=100*ej*100°10,373*e-j*15,4°=9,641*ej*115,4°
I1m уст=I3m уст=-4,136+j*8,708=9,641*ej*115,4° А
Комплексная амплитуда тока в катушке индуктивности в установившемся режиме:
I3m уст=-4,136+j*8,708=9,641*ej*115,4° А
Комплексная амплитуда тока через конденсатор в установившемся режиме:
I1m уст=-4,136+j*8,708=9,641*ej*115,4° А
Комплексная амплитуда напряжения на емкости в установившемся режиме:
UCm уст=I1m уст*ZC=9,641*ej*115,4°*10,61*e-j*90°=102,289*ej*25,4°
UCm уст=92,395+j*43,889=102,289*ej*25,4° В
Комплексная амплитуда напряжения в катушке индуктивности в установившемся режиме:
ULm уст=I3m уст*ZL=9,641*ej*115,4°*7,854*ej*90°=75,72*ej*205,4°
ULm уст=-68,393-j*32,487=75,72*ej*205,4° В
Установившиеся мгновенные значения токов и напряжений в катушке индуктивности и на конденсаторе:
i1 устt=9,641*sin 314,159*t+115,4° А
i3 устt=9,641*sin 314,159*t+115,4° А
uC устt=102,289*sin 314,159*t+25,4°В
uL устt=75,72*sin 314,159*t+205,4°В
Установившиеся мгновенные значения токов и напряжений в катушке индуктивности и на конденсаторе в момент t=0:
i1 уст0=9,641*sin 314,159*0+115,4°=9,641*sin 115,4°=8,709
i1 уст0=8,709 А
i3 уст0=9,641*sin 314,159*0+115,4°=9,641*sin 115,4°=8,709
i3 уст0=8,709 А
uC устt=102,289*sin 314,159*t+25,4°=102,289*sin 25,4°=43,875
uC устt=43,875 В
uL устt=75,72*sin 314,159*t+205,4°=75,72*sin 205,4°=-32,479
uL устt=-32,479 В
3