Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

Расчет переходного процесса классическим методом.
Рассчитываем режим до коммутации (ключ разомкнут). Цепь постоянного тока представлена на рис.2.2.
Рис.2.2 – Цепь до коммутации
До коммутации ветвь с резистором r2 отключена от цепи, поэтому
i2(0-) = 0 А.
Цепь постоянного тока (емкостное сопротивление равно бесконечности), значит имеем разрыв цепи и i1(0-) = i3(0-) = 0 А.
Напряжение на конденсаторе определим по второму закону Кирхгофа
uc0-=U0-i10-r1+r3=40-0=40 В.
По законам коммутации получаем независимые начальные условия:
uc0+=uc0-=40 В.
Расчет принужденных составляющих. Для их определения рассчитаем установившийся режим в цепи после коммутации (ключ замкнут). В этом случае имеем цепь постоянного тока (емкостное сопротивление равно бесконечности – разрыв цепи), представленную на рис.2.3.
Рис.2.3 – Цепь после коммутации
Так как постоянный ток через конденсатор не проходит, то i1пр = 0 А.
Ток через резисторы r3 и r2
i3пр = i2пр = U0r3+r2=4020+60=0,5 А.
Напряжение на конденсаторе (принужденная составляющая):
ucпр = U0-i1прr1-i3прr3=40-0-0,5∙20=30 В.
Для начального момента времени t=0+ имеем:
i3пр(0+) = i2пр(0+) = 0,5 А;
i1пр(0+) = 0 А;
ucпр(0+) = 30 В.
Расчет свободной составляющей.
Находим свободную составляющую напряжения на конденсаторе в момент времени t = 0+ . Так как ucсв0+=uc0+-ucпр0+, то ucсв0+=40-30=10 В.
Составляем характеристическое уравнение для цепи после коммутации через входное сопротивление цепи в комплексной форме:
Zвхjω=r3+r2∙(r1+1jωC)r2+r1+1jωC.
Заменим jω на p, получим
Zвхp=r3+r2∙(r1+1pC)r2+r1+1pC=r2r3+r1r3+r3pC+r1r2+r2pCr1+r2+1pC=pCr1r2+r1r3+r2r3+r2+r3r1pC+r2pC+1.
Приравниваем числитель к нулю, получим характеристическое уравнение
pCr1r2+r1r3+r2r3+r2+r3=0.
Корень характеристического уравнения
p=-r2+r3Cr1r2+r1r3+r2r3=-60+20400∙10-6(50∙60+50∙20+60∙20)=-38,462 с-1.
Так как получился один отрицательный корень, то свободная составляющая напряжения на конденсаторе ucсв(t) имеет вид:
ucсвt=Aept.
Определяем постоянную интегрирования
ucсв0+=Aep∙0=A=10 В.
Тогда напряжение на конденсаторе uct=30+10e-38,462t В.
Определим ток i1t
i1t=Cductdt=400∙10-6∙10∙-38,462e-38,462t=
=-0,154e-38,462t А.
Расчет переходного процесса операторным методом.
Рассчитываем цепь в установившемся режиме до коммутации и определяем независимые начальные условия (см